第01讲 平方根、立方根（5个知识点+5种题型+强化训练）2023-2024学年七年级下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第01讲 平方根、立方根（5个知识点+5种题型+强化训练） 知识导图 知识清单 知识点1．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点2．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 知识点3．非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 知识点4．立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点5．计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 知识复习 一．平方根（共8小题） 1．（2022春•大观区校级期末）实数4的平方根是　　 A． B． C．4 D． 2．（2023春•芜湖期末）16的平方根是 　　． 3．（2023春•凤台县期末）下列各数没有平方根的是　　 A． B．0 C．3 D．4.1 4．（2022春•舒城县校级月考）16的平方根是　　 A． B． C． D． 5．（2022春•宜秀区校级月考）若与是同一个数的平方根，则为　　． 6．（2023春•黄山期末）若与是同类项，则的平方根是 　　． 7．（2023春•蒙城县月考）一个数的平方根是，比这个数大2的数是　　 A． B． C． D． 8．（2023春•东至县期末）已知，则的平方根是　　 A． B． C． D． 二．算术平方根（共11小题） 9．（2023春•界首市期末）实数4的算术平方根是　　 A． B． C．2 D． 10．（2023春•庐阳区校级期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数算术平方根是 　　． 11．（2023春•芜湖期末）将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是． 请探究： （1）第6行第5列是 　　； （2）第101行第100列是 　　． 12．（2023春•蜀山区校级期中）圆的面积增加为原来的6倍，则它的半径是原来的　　 A．6倍 B．3倍 C．12倍 D．倍 13．（2023春•蒙城县月考）有一列数按如下规律排列：，，，，，则第10个数是 　　． 14．（2023春•霍邱县期末）已知，则　　． 15．（2023春•长丰县期末）的平方根是　　 A．3 B． C． D． 16．（2023春•贵池区期末）先观察下列各式：；；；； （1）计算：　　； （2）已知为正整数，通过观察并归纳，请写出：　　； （3）应用上述结论，请计算的值． 17．（2023春•蜀山区校级月考）【观察】请你观察下列式子． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： （1）写出第7个等式 　　． （2）请根据上面式子的规律填空：　　． （3）计算：． 18．（2023春•霍邱县期中）某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径，如果雷雨区