2.5 二次函数与一元二次方程 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

二次函数与一元二次方程 九年级下册数学北师大版 小兰同学画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图所示,你能利用图象求出关于x的方程x2+ax+b=0的解吗? 分析:如图所示,∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点坐标分别是(-1,0),(4,0),∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4. 【问题】　二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程x2+ax+b=0的根的个数之间有什么关系?图象与x轴的交点的横坐标与方程的根又有什么关系? 新知讲解 现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y= ax2+bx+c(a≠0) ，它们之间是否也存在一定的关系呢？． (1)你的图象与x轴的交点坐标是什么？ (2) 当x取何值时，y＝0 ？这里x的取值 与方程有什么关系？ (3) 你能从中得到什么启发？ 问题:画函数 y=x2－2x－3的图象,根据图象 回答下列问题： 动手操作：画出y＝x2－2x－3的图象 x y y＝x2－2x－3 你的图象与x轴的交点坐标是什么？ 函数y＝x2－2x－3的图象与x轴两个交点为： （－1，0）（3，0）。 方程x2－2x－3 ＝0的两根是： x1＝ －1，x2 ＝ 3。 你发现了什么？ （1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根。 （2）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程去解决。 (1) 每个图象与x 轴有几个交点？ (2) 一元二次方程 x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个实数根?用判别式验证一下.一元二次方程 x2-2x+2=0 有实数根吗? （3）二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 观察下列二次函数y=x2+2x、 y=x2-2x+1、y=x2-2x+2的图象. y=x2+2x y=x2-2x+1 y=x2-2x+2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: ①有两个交点; ②有一个交点； ③没有交点. 与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有数学根 有两个交点 有一个交点 没有交点 b2 – 4ac > 0 b2 – 4ac = 0 b2 – 4ac < 0 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系 ax2+bx+c = 0 的根 y=ax2+bx+c 的图象与x轴的交点 若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则_____________ ． b2 – 4ac ≥ 0 已知，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式 h=-5t2+v0t+h0 表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 例题讲解 h=-5t2+v0t+h0，一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么： 1.h和t的关系式是？ 2.图象上的每一个点的横、纵坐标分别代表什么含义？ 3.小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法?与同伴进行交流. h=－5t2＋40t． 2 4 6 8 A B 8s. 可以利用图象，也可以解方程 －5t2＋40t=0。 2.若关于x的函数 与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 . 3.一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式h=－4.9t2＋19.6t 来表示．其中t(s)表示足球被踢出后经过的间． (1)t=1时，足球的高度是多少？ (2)t为何值时，h最大？ (3)球经过多长时间球落地？ (4)方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗? (5)方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗? (2)∵h=－4.9(t-2) 2+19.6 ∴当t=2时，h最大. (3)对于h=