2.3 确定二次函数的表达式 课件 2023--2024学年北师大版九年级数学下册

确定二次函数的表达式 九年级下册数学北师大版 生活中有很多类似抛物线形状的建筑物,如果你是设计师,你能设计出这些建筑物吗? 新知讲解 初步探究确定二次函数表达式所需要的条件 如图所示,这是一名学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的图象,你能求出其表达式吗? 解:∵(4,3)是抛物线的顶点坐标,∴设二次函数表达式为y=a(x-4)2+3, 把点(10,0)代入y=a(x-4)2+3,解得a= , 因此铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y=- (x-4)2+3. 总结: (1)形如y=ax2的二次函数,因为只有一个系数a是未知的,所以只需要知道图象上一个点的坐标即可. (2)形如y=a(x-h)2和y=ax2+k的二次函数,有两个系数是未知的,所以需要知道图象上两个点的坐标即可. (3)形如y=a(x-h)2+k的二次函数,如果已知二次函数的顶点坐标,那么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式. 关于y轴对称 　　【例1】已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式． 解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)， ∴ ，解得 . ∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5. 4 已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式． 解:∵该图象经过点（－2,8）和（－1,5）， ∴解得. ∴ y=－x2－6x. 图象经过 原点 5 特殊条件的二次函数的表达式 1 对于特殊条件的二次函数， y = ax2+bx， y = ax2+c: 1.特点：①表达式中含有2个未知系数； ②题目中有两个坐标点； 2.解法： ①代：将两个坐标点带入表达式中，得一个方程组； ②解：解方程组； ③写：写出表达式 对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？ 3个 3个 【例2】已知一个二次函数的图象经过（-1，10）,（1，4）,（2，7）三点， 求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标． 解：设所求的二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c ， 由已知，将三点（-1，10），（1，4），（2，7）分别代入表达式，得 ，解得 ∴二次函数的表达式是y=2x2-3x+5. y= 2x2-3x+5=2（x-）²+. ∴二次函数对称轴为直线x=,顶点坐标为（，）. 8 一般情况的二次函数 2 1.方法：待定系数法 2.步骤： ①设：设表达式为y=ax2+bx+c； ②代：将三个点的坐标带入所设的二次函数表达式中； ③解：解三元一次方程组,得到a,b,c的值； ④还原：把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 已知二次函数的图象经过点（－3，0），（－1，0）和（0，－3）， 试求出这个二次函数的表达式. 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c, 将 （－3，0），（－1，0）和（0，－3）带入解析式中，得 ，解得. ∴二次函数的表达式是y=-x2-4x-3. 10 在什么情况下，一个二次函数只知道其中的两点就可以确定它的表达式？ 二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 用配方法可化成：y ＝ a（x - h）2 ＋ k， 顶点是（h，k）．如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点 的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式． 二次函数的各项系数中有两个是未知的，知道图象上两点的坐标，可以确定这个二次函数的表达式． 11 【例3】选取顶点（－2，1）和点（1,－8），试求出这个二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是y=a(x－h)2＋k, 把顶点（－2，1）代入y=a(x－h)2＋k得 y=a(x＋2)2＋1， 再把点（1，－8）代入上式得 a(1＋2)2＋1=－8， 解得 a=－1. ∴所求的二次函数的表达式是y=－(x＋2)2＋1或y=－x2－4x－3. 12 顶点法求二次函数的方法 3 1.知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法. 2.步骤： ①设：设函数表达式是y=a(x－h)2＋k； ②代：先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③解：将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④写：a用数值换掉，写出函数表达式. 解： ∵（－3，0）（－1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点. ∴可设这个二次函数的表达式是y=a(x－x1)(x－x2).(其中x1、x2为交点的横坐标). ∴得y=a(x＋3)(x＋1).