17.2.2 勾股定理及其逆定理的综合应用（教案）-【七彩作业】2023-2024学年八年级数学下册同步教学（人教版，河北专版）

第2课时　勾股定理及其逆定理的综合应用 课时目标 能够运用勾股定理及其逆定理解决相关实际问题,发展学生分析问题、解决问题的能力,用数学的思维思考现实世界. 学习重点 勾股定理逆定理的实际应用. 学习难点 勾股定理及其逆定理的综合应用. 课时活动设计 知识回顾 回顾勾股定理的逆定理的内容,并指出定理用于判定直角三角形. 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 设计意图:复习旧知识,为新课学习做准备. 实际应用 例1　如图,某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16 n mile,“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于Q,R处,且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗? 解:如图,连接RQ.根据题意,得PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30. 因为242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=90°. 如图,由“远航”号沿东北方向航行可知,∠1=45°.因此∠2=45°,即“海天”号沿西北方向航行. 设计意图:带着实际问题走入数学课堂,激发学生的学习兴趣,发展学生将实际问题转化为数学问题并解决数学问题的能力,同时建立数学对象与现实世界之间的联系. 综合应用 例2　已知:如图,四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°.求证:∠A+∠C=180°. 解:如图,连接AC.在Rt△ABC中,因为AB=20,BC=15,∠B=90°. 由勾股定理,得AC===25. 在△ADC中,因为AD=24,DC=7,AC=25. 又因为242+72=252,所以AD2+CD2=AC2. 所以∠ADC=90°.所以∠DAC+∠DCA=90°. 因为∠B=90°,所以∠CAB+∠BCA=90°. 所以易得∠DAB+∠DCB=180°,即∠A+∠C=180°. 设计意图:通过解决此问题,让学生明确有直角三角形时运用勾股定理求第三边,有三角形的三条边时运用勾股定理的逆定理判定直角.发展学生综合运用知识解决问题的能力. 例3　如图,BE⊥AE,∠A=∠EBC=60°,AB=4,BC=2,CD=,DE=3,求证:AD⊥CD. 证明:证法一.在Rt△AEB中,因为∠AEB=90°,∠A=60°,所以∠ABE=30°.因为AB=4,所以AE=2.由勾股定理,得BE===2. 在△BEC中,因为∠EBC=60°,BC=BE=2,所以EC=2. 在△EDC中,因为(2)2-()2=32, 所以EC2-DC2=DE2.所以∠D=90°.所以AD⊥CD. 证法二.如图,延长AD,BC交于点M. 因为BE⊥AE,∠A=60°,所以∠ABE=30°. 因为∠EBC=60°,所以∠ABM=90°. 在Rt△ABE和Rt△ABM中, 易得AE=2,AM=8,BE=2,BM=4. 在△MDC中,因为(4-2)2-()2=(8-2-3)2, 所以MC2-DC2=DM2.所以∠MDC=90°. 所以AD⊥CD. 设计意图:引导学生经历一题多解,再次感悟勾股定理求边长、勾股定理的逆定理判定直角. 初步应用 1.A,B,C三地的两两距离如图所示,A地在B地的正东方向,C地在B地的什么方向? 解:因为BC2+AB2=52+122=169,AC2=132=169,所以BC2+AB2=AC2. 即△ABC是直角三角形,∠B=90°. 答:C地在B地的正北方向. 2.有一电子跳蚤从坐标原点O出发向正东方向跳1 cm,又向南跳2 cm,再向西跳3 cm,然后又跳回原点,问电子跳蚤跳回原点的运动方向是怎样的?所跳距离是多少厘米? 解:根据题意,结合下图可知电子跳蚤跳回原点的运动方向是东北方向;所跳距离是2 cm. 3.如图,在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1 000 m的A处有一艘快艇正在向正南方向航行,经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处. 求:(1)此时快艇航行了多少米(即AB的长)? (2)距离哨所多少米(即OB的长)? 解:(1)根据题意,得∠AOC=30°,∠COB=45°,AO=1 000 m,AB⊥OC, 所以AC=AO=500 m,BC=OC. 在Rt△AOC中,由勾股定理,得OC==500(m). 所以BC=OC=500. 所以AB=AC+BC=(500+500)m. 所以此时快艇航行了(500+500)m. (2)在Rt△BOC中,由勾股定理,得OB===500(m).所以距离哨所500 m. 拓展提升 1.如图1,甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼.甲船以15 km/h的速度沿北偏