17.1.2 勾股定理的实际应用（教案）-【七彩作业】2023-2024学年八年级数学下册同步教学（人教版，河北专版）

第2课时　勾股定理的实际应用 课时目标 能够运用勾股定理解决相关实际问题,发展学生分析问题、解决问题的能力,用数学的思维思考现实世界. 学习重点 　　勾股定理的应用. 学习难点 　　将实际问题转化为数学问题. 课时活动设计 知识回顾 勾股定理的内容是什么?可以运用勾股定理解决什么样的问题? 设计意图:复习勾股定理内容的同时,再次明确定理适用的条件(直角三角形中),及已知直角三角形的任意两边可以求第三边,为实际问题的解决奠定基础. “某人拿一根竹竿想进城,可是竹竿太长了,横竖都进不了城.这时,一位老人给他出了个主意,把竹竿截成两半……”你同意老人的建议吗? 设计意图:从一个有趣的截竿进城的寓言故事引入新课,既激发学生的兴趣,又能发展质疑问难的批判性思维,为后续问题的解决提供思路. 例1　一个门框的尺寸如图1所示,一块长3 m,宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内穿过?为什么? 解:如图3,连接AC.在Rt△ABC中,根据勾股定理, 得AC2=AB2+BC2=12+22=5, 故AC=≈2.24. 因为AC大于木板的宽2.2 m, 所以木板能从门框内通过. 设计意图:从学生比较熟悉的生活经验入手,抛出具体的实际问题,在解决问题的过程中体会将实际问题转化为数学问题的思维策略. 例2　如图,一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m,那么梯子底端B也外移0.5 m吗? 解:可以看出,BD=OD-OB. 在Rt△AOB中,根据勾股定理,得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1,∴OB==1. 在Rt△COD中,根据勾股定理,得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15, ∴OD=≈1.77. ∴BD=OD-OB=1.77-1=0.77. ∴当梯子的顶端沿墙下滑0.5 m时,梯子的底端并不是也外移0.5 m,而是外移约0.77 m. 设计意图:对于动态的实际问题,让学生认识到变化过程中的不变量,从而借助不变量构造直角三角形求解. 初步应用 1.有一个边长为50 dm的正方形洞口,想用一个圆盖去盖住这个洞口,圆的直径至少为多少?(结果保留整数) 解:先根据题意,知圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长;再根据勾股定理,得盖的直径至少应为=50≈71(dm). 答:圆的直径至少约为71 dm. 2.如图,池塘边有两点A,B,点C是与BA方向成直角的AC方向上一点,测得BC=60 m,AC=20 m,求A,B两点间的距离.(结果取整数) 解:因为在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=20,BC=60, 所以由勾股定理可知AB====≈57(m). 答:A,B两点间的距离约为57 m. 拓展提升 1.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4 000 m处,过了20 s,飞机距离这个男孩头顶5 000 m,则飞机每小时飞行多少千米? 解:如图,由题意,得AC=4 000 m,∠C=90°,AB=5 000 m. 由勾股定理,得BC==3 000(m). 所以飞机飞行的速度为3 000÷20=150(m/s)=540(km/h). 2.《九章算术》中有这样一个问题,大致的意思为有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面,请问这个水的深度与这根芦苇的长度各是多少? 解:因为EB=10,C是BE的中点, 所以BC=5. 因为DC=1,DC+CA=BA, 所以1+CA=BA. 在Rt△BCA中,根据勾股定理,得BA2=52+CA2, 所以(1+CA)2=52+CA2, 解得CA=12, 所以BA=1+CA=1+12=13. 答:水的深度CA为12尺,芦苇DA的长度为13尺. 设计意图:进一步加强所学知识,加强学生解决数学问题的信心,进一步提升学生对知识灵活运用的能力. 课堂8分钟. 1.教材第26页练习第2题,第28页习题17.1复习巩固第2,5题,第29页综合运用第10题. 2.七彩作业. 第2课时　勾股定理的实际应用 　　　方程思想. 例1 例2 教学反思