2.4 二次函数的应用 教案2023-2024学年北师大版数学九年级下册

2.4 二次函数的应用 课题 2.4 二次函数的应用 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级 学习 目标 1.会利用二次函数的知识解决面积最值问题； 2.能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值. 重点 会利用二次函数的知识解决面积最值问题. 难点 会利用二次函数的知识解决面积最值问题. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 回顾知识 导入新课 一、 同学们在路边、闹市区经常会看到很多的大型广告牌,大家平常见到的广告牌一般什么形状的比较多? 课件出示:(生活中常见的广告牌) 请同学们思考下面的问题: 现在一个广告公司接到了一笔业务,需要设计一块周长为12 m的矩形广告牌,由于公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费,如果你是该公司的设计员,你能否设计出令广告公司老总满意的广告牌? 问：　显然在周长一定的情况下,面积越大,利润就越多,老总越满意,如何能让广告牌的面积最大呢? 二、 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. (1) 设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为y m2,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少? 解：（1）∵AN＝40 m，AM＝30 m，AB＝x m， ∴CD＝x m， ∵CD∥AN，∴△MDC∽△MAN， ∴＝，∴＝， ∴DM＝x，∴AD＝30−x； （2）y=AB·AD=x· (30−x)= −(x-20)²+300(0<x<40) ∴x=20时，最大面积y为300 m². 在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎么知道的？ 解：作OH⊥MN于H，交AD于G， ∵AD∥BC ∴△ODA∽△OMN，∴＝． 设GH＝AB＝x， ∴OG＝OH−x． 在Rt△MON中，由勾股定理，得MN＝50，OH=24 ∴OG＝24−x． ∴＝＝, ∴＝，∴AD＝50−x． ∴y＝x（ 50−x ）， ∴y＝−（x−12）²＋300． ∴a＝−＜0， ∴x＝12时，y最大＝300． 学生思考并回答问题.并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识. 导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力. 讲授新课 例题讲解 课堂小结 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.建：分析题目，建立二次函数模型，求出函数解析式； 2.求：求出自变量的取值范围； 3.最：配方变形，利用公式求它的最大值或最小值, 4.检：检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 　　【例1】某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15 m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)?此时,窗户的面积是多少? 解:∵7x+4y+πx=15， ∴y= ∵0<x<15，且0<<15 ∴0<x<1.479 设窗户的面积是Sm²，则 S=x²+2x· =-x²+x= －)²+ . ∴当x=≈1.07m时，S最大=≈4.02. 即当x≈1.07m时， S最大≈4.02m².此时，窗户通过的光线最多. 【例2】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 可以出，这个函数的图象是一条抛物看线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值. 如图，在0≤t≤6间，抛物线有最高点.即此时h有最大值.t=- h=45. 小球运动的时间是 3s 时，小球最高. 小球运动中的最大高度是 45 m． 变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 最值在其顶点处，即当x=15 m时，S=450 m2. 变式2 如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解：设矩形面积为S m2,与墙平行的一边为x米，则 S=(0 ＜ x ≤18). ∵30 ＞18， ∴只能利用函数的增减性求其最值. 当x=18时，S有最大值是378. 一起总结下本节课的知识点： 三、巩固练习 完成课件练习内容 结合导入的思考和老师的讲解，利用探究学习并掌握会利用二