2.3 垂径定理 课件 2023--2024学年湘教版九年级数学下册

第二章 圆 2.3 垂径定理 复习导入 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 在同圆或等圆中， 圆心角相等 劣(优)弧相等弦相等 直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径. 圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角． 新课导入 如图，1400年前，我国隋代建造的赵州桥的桥拱是圆弧形， 它的跨度（弧所对的弦长）是 37.4 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2 m， 求桥拱的半径（精确到 0.1 m）. 探究新知 在⊙O中，AB 是任一条弦，CD 是⊙O 的直径，且 CD ⊥ AB，垂足为 E. 试问：AE 与 BE，AC与BC ，AD与BD分别相等吗？ 探究新知 你能试着证明这个结论吗？ 因为圆是轴对称图形， 将 ⊙O 沿直径CD对折，AE 与 BE 重合，AC， AD分别与BC , BD重合， 即 AE = BE ，AC=BC ,AD=BD. 探究新知 连接 OA，OB. ∵ OA = OB， ∴ △OAB 是等腰三角形. ∵ OE ⊥ AB， ∴ AE = BE， ∠AOD =∠BOD. 从而∠AOC =∠BOC. ∴ AC=BC ,AD=BD. 6 知识要点 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD是⊙O的的直径，CD⊥ AB于点E， ∴ AE=BE，AC=BC ,AD=BD. 知识要点 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的孤。 垂径定理也可理解为：一条直线，如果它具有两条性质：①经过圆心，②垂直于弦， 那么它就具有另外三条性质 ①平分弦，②平分弦所对的劣孤，③平分弦所对的优孤. 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O C A B O D C A B O D C 知识要点 知识要点 如图，在下列五个条件中： 只要具备其中两个条件，就可推出其余三个结论． 你可以写出相应的命题吗？ ①CD是直径；　　 ②CD⊥AB；　 ③AE=BE； ⑤ AD=BD ． AC=BC；　 知识要点 ①CD是直径；　　 AC=BC；　 ②CD⊥AB；　 ③AE=BE； ⑤ AD=BD ． 平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ①CD是直径；　　 ⑤ AD=BD ． AC=BC；　 ②CD⊥AB；　 ③AE=BE； 知识要点 ①CD是直径；　　 AC=BC；　 ②CD⊥AB；　 ③AE=BE； ⑤ AD=BD ． 弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 知识要点 ①CD是直径；　　 AC=BC；　 ②CD⊥AB；　 ③AE=BE； ⑤ AD=BD ． 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线 过圆心，并且平分弦所对的另一条弧． ①CD是直径；　　 ⑤ AD=BD ． AC=BC；　 ②CD⊥AB；　 ③AE=BE； 知识要点 ①CD是直径；　　 AC=BC；　 ②CD⊥AB；　 ③AE=BE； ⑤ AD=BD ． 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线 过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧． ①CD是直径；　　 ⑤ AD=BD ． AC=BC；　 ②CD⊥AB；　 ③AE=BE； 知识要点 ①CD是直径；　　 AC=BC；　 ②CD⊥AB；　 ③AE=BE； ⑤ AD=BD ． 平分弦所对的两条弧的直线 过圆心，并且垂直平分弦． 典例精析 例1 如图，弦AB = 8 cm，CD是⊙O 的直径，CD⊥AB， 垂足为 E，DE ＝ 2 cm，求⊙O 的直径 CD 的长. 解 连接 OA. 设 OA = r cm， 则 OE ＝ （r – 2） cm. ∵ CD⊥AB， 由垂径定理得AE= =4 cm 在 Rt△AEO 中， 由勾股定理得 OA2 ＝ OE2 + AE2. 即 r2 ＝ （r-2）2 + 42. 解得 r ＝ 5 . ∴ CD = 2r = 10 cm. 知识要点 垂径定理在我们实际生活中有广泛的应用，它常与勾股定理结合，通过垂径定理构造直角三角形，涉及 弦长a（AB）、半径r（ OA、OB ）、弦心距d（OE）、弓形高h（DE）。 它们之间有如下关系： r=d+h A B C D O h r d 当堂练习 1.如图，1400年前，我国隋代建造的赵州桥的桥拱是圆弧形， 它的跨度（弧所对的弦长）是 37.4 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2 m， 求桥拱的半径（精确到 0.1 m）. 解决“赵州桥”的问题： 解：如图，OA=OC=R， OD=OC-CD=R-7.2，AB=18.7． AD2