22.3 特殊的平行四边形-矩形与菱形 学案 2023-2024学年沪教版（上海）八年级数学第二学期

特殊的平行四边形——矩形与菱形 知识点一：矩形的性质与判定 1．性质：按边、角、对角线三方面分类记忆． 矩形的性质 2．判定方法：同样按边、角、对角线三方面分类记忆． 【例题】 1、 下列说法中，错误的是（　　） 　　  A．矩形的四个内角都相等            B．四个内角都相等的四边形是矩形 　　  C．矩形的对角线互相平分            D．对角线相等的四边形是矩形 2、 下列各组条件中，能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） 　　  A．∠A+∠B=90°                 B．AB∥CD，AB=CD，AC=BD C．AB∥CD，AD=BC，AC=BD            D．AC=BD，∠A=90° 3、如图1，在△ABC中，AB=AC，P为BC上的一动点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC垂足分别为D，E。CF为AB边上的高线。求证：PD+PE=CF。 4、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足为E．求证：BE=DE． 【巩固练习】 1、如图所示，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上BF∥DF，若AD＝ 12cm，AB＝ 7cm，且AE：EB=5：2，则阴影部分的面积为         . 2、如图所示，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线．AE⊥BE，AD⊥BD，E，D为垂足，求证：四边形AEBD是矩形． 3、如图△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角线于点F.（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论． 知识点二：菱形的性质及判定 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 菱形的性质： 1、菱形具有平行四边形的所有性质： 2、菱形的性质定理1 菱形的四条边都相等． 菱形的性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 菱形的对称性 菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等与对角线乘积的一半 菱形的判定定理： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。（定义作为第一判定） 四条边相等的四边形是菱形． 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 性质【例题】 1、 菱形的两条对角线长的比是，面积是，则它的对角线的长分别是 ， ． 2、菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（　　） 3、菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（　　） 　 A． 60° B． 15° C． 30° D． 90° 4、已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE． 【巩固练习】 1、两对角线分别是6cm和8cm的菱形面积是　_________　cm2，周长是　_________　cm． 2、如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于　 度． 3、如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F． 求证：AB与EF互相平分． 4、已知：如图，菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F．如果FB的长是2，求菱形ABCD的周长． 判定【例题】 1、已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F． 求证：四边形AFCE是菱形． 2、已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形． 3、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB．求证：四边形AEDF是菱形． 【巩固练习】 1、如图，△ABC中，∠BAC=90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，交BG于点E，连接EF．求证：①AE=AG；②四边形AEFG为菱形． 2、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形． 3、如图：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形． 【作业】 一、选择题 1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　） A．对角相等 B．对边相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 2．能够判别一个四边形是菱形的条件是（　） A．对角线相等且互相平分 B．对角线互相垂直且相等 C．对角线互相平分