北京市第九中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

2024北京九中高二（下）开学考 数 学 （考试时间120分钟 满分150分） 一、单选题（共80分） 1．已知平面与平面为两个不同的平面，与为两条不重合的直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．直线的倾斜角为 (　） A． B． C． D． 3．已知双曲线C的焦点在y轴上，且其中一条渐近线的方程为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别为AB，CD的中点，EF=，则AD与BC所成的角为(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 6．如果圆关于直线对称，那么（   ） A． B． C． D． 7．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 8．若直线l：4x+3y＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+t＝0相切，则圆C的标准方程为（　  　） A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝8 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9 D．（x﹣1）2+（y+2）2＝4 9．如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）   A． B． C． D． 10．已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于（    ） A． B． C． D． 11．为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 12．首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有（ ）个. A．216个 B．252个 C．324个 D．432个 13．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x2＝4y，圆的半径为r，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范围是（    ） A．（2，＋∞） B．（1，＋∞） C． D．[1，＋∞） 14．九章算术中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图）．现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法．显然，正方体的内切球同时也是“牟合方盖”的内切球．因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，该平面截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆．结合祖暅原理，两个同高的立方体，如在等高处的截面积相等，则体积相等．若正方体的棱长为6，则“牟合方盖”的体积为（    ）    A．144 B． C．72 D． 15．如图，在正方体中，点分别是棱上的动点．给出下面四个命题 ①直线与直线平行； ②若直线与直线共面，则直线与直线相交； ③直线到平面的距离为定值； ④直线与直线所成角的最大值是． 其中，真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆（，且为常数）和半圆组成的曲线D如图2所示，曲线D交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点C，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共25分） 17．过点，圆心为的圆的标准方程是 . 18．的展开式中常数项是 （用数字作答）. 19．直线经过点，且点到的距离为，则直线的方程为 ． 20．（图1）庑殿顶是中国古代建筑一种官式建筑，而且等级是最高的，如故宫的英华殿．它屋面有四面坡， 前后坡屋面全等且相交成一条正脊，两山屋面全等与前后屋面相交成四条垂脊．由于屋顶四面斜坡， 也称“四阿顶”；（图2）是庑殿顶的顶盖几何模型图，底面是矩形，若四个侧面与底面所成的角均相等， 已知，则 21．如图，正方体的棱长为，点是平面内的动点， ，分别为的中点，若直线与直线所成的角为，且，则动点的轨迹所围成的图形的面积为 ． 三、问答题（共45分） 22．（本题15分）如图，抛物线的顶点在坐标原点，圆的圆心是抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点且斜率为2，直线交抛物线和圆依次于四点． (1)求抛物线的方程； (2)求的值． 23．（本题15分）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)若，二面角的大小为，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.求的长. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 24．（本题1