第九章　整式乘法与因式分解－－因式分解的八种常见应用课件2023-2024学年苏科版七年级数学下册　

因式分解的八种常见应用 素养训练 苏科版 七年级下 第九章　整式乘法与因式分解 　　因式分解是整式恒等变换的重要组成部分，它与整式的 乘法互逆，是代数式恒等变形的重要手段，在有理数的计 算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用. 应用1 简便计算 1.利用因式分解计算： (1)1012＋492＋101×98； (2)8002－1 600×798＋7982. 　【解】原式＝1012＋2×101×49＋492 ＝(101＋49)2 ＝1502 ＝22 500. 原式＝(800－798)2＝22＝4. 应用2 化简求值 2.[2023·十堰]若x＋y＝3，xy＝2，则x2y＋xy2的值是 ⁠. 6　 3.先化简，再求值： (1)已知2x－y＝，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值； 【解】因为2x－y＝，xy＝2， 所以原式＝x3y3(2x－y)＝23×＝. (2)已知x－y＝1，xy＝2，求x3y－2x2y2＋xy3的值. 【解】原式＝xy(x2－2xy＋y2) ＝xy(x－y)2. 当x－y＝1，xy＝2时， 原式＝2×12＝2. 应用3 判断整除 4.[2023·河北]若k为任意整数，则(2k＋3)2－4k2的值总能 (　B　) A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 B ＝12k＋9 ＝3(4k＋3)， 因为k为任意整数， 所以(2k＋3)2＋4k2的值总能被3整除， 故选B. 【点拨】 (2k＋3)2－4k2 ＝4k2＋12k＋9－4k2 5.当n为整数时，(n＋1)2－(n－1)2能被4整除吗？请说明理由. 【解】能被4整除.理由如下： 因为(n＋1)2－(n－1)2＝(n＋1＋n－1)(n＋1－n＋1)＝4n， 所以当n为整数时，(n＋1)2－(n－1)2能被4整除. 6. ［新考法•阅读类比法］先阅读下列材料，然后解题. 材料：因为(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6， 所以(x2＋x－6)÷(x－2)＝x＋3， 即x2＋x－6能被x－2整除. 所以x－2是x2＋x－6的一个因式，且当x＝2时， x2＋x－6＝0. (1)[类比思考]：(x＋2)(x＋3)＝x2＋5x＋6，所以x2＋5x＋6能 被 整除，所以 是x2＋5x＋6 的一个因式，且当x＝ 时，x2＋5x＋6＝0； x＋2或x＋3　 x＋2或x＋3　 －2或－3　 (2)[拓展探究]：根据以上材料，已知多项式x2＋mx－14能被 x＋2整除，试求m的值. 【解】因为x2＋mx－14能被x＋2整除， 所以当x＝－2时，x2＋mx－14＝0. 所以(－2)2＋m·(－2)－14＝0， 解得m＝－5. 应用4 判断正负 7.若a，b，c为三角形的三边长，试说明：(a2＋b2－c2)2－ 4a2b2的值一定为负. 【解】(a2＋b2－c2)2－4a2b2 ＝(a2＋b2－c2)2－(2ab)2 ＝(a2＋b2－c2＋2ab)(a2＋b2－c2－2ab) ＝[(a＋b)2－c2][(a－b)2－c2] ＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c). 因为a，b，c为三角形的三边长，所以a＋b＋c＞0，a＋b－ c＞0，a－b＋c＞0，a－b－c＜0，所以(a＋b＋c)(a＋b－ c)(a－b＋c)(a－b－c)＜0，即(a2＋b2－c2)2－4a2b2＜0， 故(a2＋b2－c2)2－4a2b2的值一定为负. 应用5 比较大小 8. ［新考法•作差法］已知P＝2x2＋4y＋13，Q＝x2－y2＋6x －1，比较P，Q的大小. 【解】P－Q＝(2x2＋4y＋13)－(x2－y2＋6x－1)＝x2－6x＋ y2＋4y＋14＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1. 因为(x－3)2≥0，(y＋2)2≥0， 所以P－Q＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1≥1， 所以P＞Q. 应用6 判断三角形的形状 9.已知a，b，c为△ABC的三条边的长，且b2＋2ab＝c2＋2ac. 试判断△ABC属于哪一类三角形. 【解】因为b2＋2ab＝c2＋2ac，所以(b2－c2)＋(2ab－2ac)＝0. 所以(b＋c)(b－c)＋2a(b－c)＝0.所以(b－c)(b＋c＋2a)＝0. 因为a，b，c为△ABC的三条边的长，所以b＋c＋2a＞0， 所以b－c＝0，即b＝c.所以△ABC是等腰三角形. 应用7 求周长 10. ［新考法•阅读类比法］阅读材料： 利用