4.3.1等比数列的判断与证明同步练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1等比数列的判断与证明同步练习 一、单选题 1．已知下列各数列：①，，，；②1，，3，；③a，a，a，a；④，，，．其中一定是等比数列的是(    )． A．①②③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 2．设数列为公比不为的等比数列，则下面四个数列：①；②(为非零常数)；③；④其中是等比数列的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知数列是等比数列，下面的数列中必为等比数列的个数是（    ） ①                ②        ③                ④ A． B． C． D． 4．在数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 5．在数列中，，点在直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知数列是各项均大于0的等比数列，若，则下列说法中正确的是（    ） A．一定是递增的等差数列； B．不可能是等比数列； C．是等差数列； D．不是等比数列． 7．已知等比数列满足，，则（    ） A．数列是等差等列 B．数列是等差数列 C．数列是递减数列 D．数列是递增数列 8．若数列对任意满足，下面选项中关于数列的说法正确的是（    ） A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．可以既是等差数列又是等比数列 D．可以既不是等差数列又不是等比数列 二、多选题 9．已知数列中，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等比数列 D． 10．已知都是等比数列，那么（    ） A．都一定是等比数列 B．一定是等比数列，但不一定是等比数列 C．不一定是等比数列，但一定是等比数列 D．，一定是等比数列 11．已知数列满足：，下列说法正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列是等比数列 D．数列是公差为4的等差数列 三、填空题 12．数列中，若，，（，），则 ． 13．在数列中，，，则通项公式 ． 14．已知数列满足：，且数列是等比数列，数列是等差数列，试写出数列的一个通项公式： ． 四、解答题 15．已知数列的首项． (1)若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； (2)若为等比数列，公比，证明数列为等差数列． 16．已知数列满足：，． (1)求证：为等比数列； (2)求的通项公式． 17．已知数列满足：，． (1)求证是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求使不等式成立的所有正整数m，n的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】利用等比数列的定义进行判定即可. 【详解】，故①对； ，故②对； 当时，③不成等比数列，故③错； ，故④对. 故选：C． 2．D 【分析】设数列的公比为，则，根据等比数列的定义逐一判断①②③④即可得正确答案. 【详解】设数列的公比为，则， 对于①，因为是常数，所以是等比数列； 对于②，因为是常数，所以是等比数列； 对于③，因为是常数，所以是等比数列； 对于④，因为是常数，所以是等比数列； 所以①②③④都是等比数列，所以等比数列有个， 故选：D. 3．B 【分析】利用等比数列定义依次验证各个选项即可. 【详解】设等比数列的公比为， 对于①，，数列为等比数列，①正确； 对于②，当时，，此时数列不是等比数列，②错误； 对于③，，数列为等比数列，③正确； 对于④，，当时，不是等比数列，④错误. 故选：B. 4．D 【分析】根据给定的条件，利用等比数列通项公式求解作答. 【详解】数列中，且，因此数列是首项为1，公比为-2的等比数列， 所以. 故选：D 5．B 【分析】由题意可得数列是首项为，公比为的等比数列，进而利用通项公式求得结果. 【详解】解：因为点在直线上， 所以， 因为， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：B. 6．C 【分析】设出等比数列的公比，求出的表达式，再逐项分析判断作答. 【详解】设等比数列的公比为，依题意有，，， ，为常数，即数列是公差为的等差数列， 当时，，等差数列是递减的，A不正确； 当时，，即数列是非0常数数列，它是等比数列，B不正确； 为常数，即是等差数列，C正确； 是不为0的常数，即数列是等比数列，D不正确. 故选：C 7．B 【分析】利用等差数列和等比数列的定义求解判断. 【详解】解：因为等比数列满足，， 则，故数列是以1为首项，以2为公比的等比等列，故A错误； 则，故数列是以0为首项，以-1为公差的等差数列，故B正确； 由A知：。故数列是递增数列，故C错误； 由B知：，故数列是递减数列，故D错误； 故选：B 8．D 【分析】由已知可得或，结合等差数列和等比数列的定义，可得答案． 【详解】由，得或， 即或， 若，则数列是等差数列，则B错误； 若，当