7.4认识三角形 讲义 2023-2024学年苏科版数学七年级下册

7.4认识三角形 （讲义） 教学目的： 1.三角形的高 2.三角形的中线 3.三角形的角平分线 教学重难点： 1. 掌握三角形三条线的基本概念 2. 掌握三角形的高、中线、角平分线的区分 3. 熟练运用三角形的高、中线、角平分线解题 知识梳理 【知识点一】三角性的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 特别说明： （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： 【知识点二】三角性的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 特别说明： (1)三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 【知识点三】三角性的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 特别说明： （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 典型例题 【例1】如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ） A．AD B．BE C．BF D．CG 【例2】如图，AB＝8，AC＝5，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】如图，在△ABC中，D，E是BC上两点，且BE＝CE，AD平分∠BAC，AF垂直于BC的延长线于F，那么下列说法中不一定正确的是（　　） A．AF是△ABE的高 B．若AE，AD，AF重合，则△ABC为等腰三角形 C．∠EAD＝∠CAF D．S△AEB＝S△ACE 【例4】 如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求： （1）AD的长； （2）△ABE的面积； （3）△ACE和△ABE的周长的差． 举一反三 题型一：三角形的高线 【变式1】如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（　　） A．BC是△ABC的高 B．AC是△ABE的高 C．DE是△ABE的高 D．AD是△ACD的高 【变式2】如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【变式3】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm； 求（1）△ABC的面积； （2）CD的长． 题型二：三角形的中线 【变式1】如图，在△ABC中，CD为边AB的中线，若AB＝12，则AD＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（　　） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．某一边的垂直平分线 【变式3】 如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，△AEF的面积为4，△ABC的面积是（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 题型三：三角形的角平分线 【变式1】如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ） A．59° B．60° C．56° D．22° 【变式2】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【变式3】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，FE垂直平分AD，垂足为E，EF交BC的延长线于点F，若∠CAF＝50°，求∠B的度数． 题型四：三角形的高线、中线、角平分线的综合 【变式1】如图，AD，AE，AF分别是△