1.2.1等腰三角形-直角三角形2023-2024学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级《数学》下册 第一章 三角形的证明 1.2.1直角三角形 北师大版八年级《数学》下册 1.2.1直角三角形 教学目标 1.掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。 2.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立． 3.进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维． 4.进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力． 北师大版八年级《数学》下册 重难点 重点 ①了解勾股定理及其逆定理的证明方法． ②结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立． 难点 勾股定理及其逆定理的证明方法． 1.2.1直角三角形 北师大版八年级《数学》下册 1.2.1直角三角形 [问题1]一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少? B1C1呢? 解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10 cm，∴BC＝AB＝×10＝5 cm． ∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1＝90°又∵∠A+∠B＝90°∴∠BCB1 ＝∠A＝30° 在Rt△ACB1中，BB1＝BC＝×5＝ cm＝2.5 cm．∴AB1＝AB＝BB1＝10—2.5＝7.5(cm)． ∴在Rt△C1AB1中，∠A＝30°∴B1C1 ＝2(1)AB1＝2(1)× 7.5＝3.75(cm)． “一般的直角三角形具有什么样的性质呢?” 北师大版八年级《数学》下册 1.2.1直角三角形 一般的直角三角形的三边具有什么样的性质呢? 勾股定理 在直角三角形中,两直角边的平方和 等于斜边的平方. 你会证明吗? 证明方法: 数方格和割补图形的方法 你会利用公理及由其推导出的定理证明吗? 北师大版八年级《数学》下册 1.2.1直角三角形 勾股定理的证明 已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c． 求证：+＝ 即++2ab=+2ab ∴+＝ 证明：延长CB至D，使BD=b，作∠EBD=∠A，并取BE=c，连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED． ∴∠BDE=90°，ED=a． ∴四边形ACDE是直角梯形． ∴S梯形ACDE= (a+b)(a+b)= (a+b)． ∴∠ABE=180°一∠ABC一∠EBD=180°—90°=90° AB=BE． ∴S△ABE= ∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED， ∴ =+ab+ab 北师大版八年级《数学》下册 1.2.1直角三角形 两直角边的平方和等于斜边的平方. 直角三角形中, 在 反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的 平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形” 的结论．你能证明此结论吗? 勾股定理 北师大版八年级《数学》下册 1.2.1直角三角形 已知：如图，在△ABC中， 求证：△ABC是直角三角形． ∵ DE=AB，DF=AC ∴ ∴BC= EF ∴△ABC≌△DEF（SSS） ∴∠A=∠D=90°(全等三角形的对应角相等)． 因此，△ABC是直角三角形． A B C 证明：作Rt△DEF，使∠D=90°， DE=AB， DF=AC(如图)， (勾股定理)． 逆定理的证明 北师大版八年级《数学》下册 1.2.1直角三角形 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形是直角三角形． 观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系? 勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件． 在前面的学习中还有类似的命题吗? 勾股定理的逆定理 北师大版八年级《数学》下册 1.2.1直角三角形 1.两直线平行，内错角相等. 内错角相等，两直线平行. 2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 直角边就等于斜边的一半 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的锐角等于30° 北师大版八年级《数学》下册 1.2.1直角三角形 观察下面三组命题： 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗? 与同伴交流． 北师大版八年级《数学》下册 1.2.1直角三角形 在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是 另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆 命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对 于逆