2.2 导数的概念及其几何意义 课件-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.2 导数的概念及其几何意义 学习目标 理解导数的概念及其符号表示 .(重点） 理解导数的几何意义，掌握“在某点”和“过某点”两种切线问题.（难点） 设函数,当自变量从变到时，函数值从变到，函数 值关于的平均变化率为 当趋于，即趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个 值就是函数在点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数 在点处的导数，通常用符号表示，记作 . 复习回顾 例1 一条水管中流过的水量（单位：）与时间（单位：s）的函数关系为.求函数 在处的导数，并解释它的实际意义. 解：当从2变到时，函数值从变到,函数值关于的平均变化率为 当趋于2，即趋于0时，平均变化率总是3，所以. 导数当时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度.也就是说，如果水管中的水保持以 时的瞬时速度流动的话，每经过，水管中流过的水量为. 情境导入 导数的概念 例 一条水管中流过的水量（单位：）与时间（单位：s）的函数关系为.现求 ，并解释它的实际意义. 解：当从4变到时，函数值从变到,函数值关于的平均变化率为 当趋于4，即趋于0时，平均变化率总是3，所以. 导数当时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度.也就是说，如果水管中的水保持以 时的瞬时速度流动的话，每经过，水管中流过的水量为. 情境导入 导数的概念 例2 一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量（单位：kg)与其工作时间单位 ：h）的函数关系为.假设函数在和处的导数分别为和, 试解释它们的实际意义. 解：表示该工人上班后工作1h的时候，其生产速度（即工作效率）为4kg/h.也就是说，如果保 持该一生产速度，那么他每时可以生产4kg的食品. 表示该工人上班后工作3h的时候，其生产速度为3.5kg/h.也就是说，如果保持这一生产速度， 那么他每时可以生产3.5kg的食品. 情境导入 导数的概念 6 练习1 根据导数的定义，求函数在处的导数. 解：, , 故. 例题解析 导数的概念 根据定义求导数的步骤： 第一步，求函数的变化（增量）：对于函数,自变量的增量是, 相应的函数值的增量是. 第二步，求平均变化率（增量之比）： 第三步，求瞬时变化率（增量之比的极限）： 例题解析 一差、二比、三极限 （1）求在处的导数； 解：（1）因为 ， 当趋近于0时，无限趋 近于2，所以的导数 等于2. 即 （2）求在处的导数. 解：因为 当无限趋近于0时，无限 趋近于，所以在处的导 数等于. 即 例题解析 练习2（2022上海长津中学高二月考）已知 设函数的图象是一条光滑的曲线，且函数在区间 的平均变化率为,如图2-3，它是经过和 两点的直线的斜率.这条直线称为曲线在点 的一条割线. 新课探究 导数的几何意义 如图2-4，设函数的图象是一条光滑的曲线，从图象上可以看 出：当不同的值时，可以得到不同的割线；当0时，点沿 着曲线点,割线将绕点转动趋于直线称直线为曲线 点处的切线，或称直线和曲线在点处相切.该切线 的斜率就是函数在的导数. 新课探究 导数的几何意义 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 函数在的导数,是曲线在点 处的切线的斜率.函数在切线的斜率反映了导数的几何意义. 新课探究 例3 求函数处的切线的方程. 解： . 令趋于0，可知处的导数为 于是，函数在点即处的切线斜率为6， 所以即该切线经过点且斜率为6. 因此，函数在处的切线方程为 , 即 例题解析 练习1 求函数处切线的斜率. 解： 所以当时，,即其图象在处切线的斜率为4. 例题解析 练习2 求函数处的切线方程. 解：因为 . 所以当时，的图像在处切线的斜率为. 又因为,所以图像在的切线方程为