2.3.1 向量的数乘运算 课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

2.3.1 向量的数乘运算 第二章 平面向量及其应用 1．向量的数乘及其几何意义； 2．向量数乘的运算律及其应用． 向量的线性运算． 1．掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义以及数乘运算律； 2．了解向量的线性运算性质及几何意义； 3．在速度的倍数引导下学习数乘向量，进一步体会数学和物理学的联系，通过学习向量的数乘运算，重点提升学生的逻辑推理和数学运算素养． 2 情景一：在大气中，光的传播速度大约为3×米/秒，声音的传播速度大约为340米/秒，又称1马赫（音速单位：1马赫=1200千米/时），光速约为声速的8.8×倍．所以，当我们看到闪电后，通过读秒直至听到雷声就能判断雷电距离我们大致多远． 情景二：2021年4月1日是“中美南海撞击事件”20周年．2001年4月1日，美国一架EP—3电子侦察机侵犯我南海领空，我军派出两架歼—8Ⅱ战斗机跟踪拦截，美军飞机突然撞向我战机，致使我战机坠毁，飞行员王伟牺牲．EP—3电子侦察机最大时速为800km/h(0.7马赫)，歼—8Ⅱ战斗机最大时速为2500km/h(2.2马赫)．歼—8Ⅱ战斗机最大时速约是EP—3电子侦察机的3倍． 以上实例说明存在这样的两个向量，它们是共线的，且大小具有倍数关系．因此，有必要定义实数与向量的乘积运算． 3 我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面向量可以做乘法吗?它和实数可以做乘法吗？ 可以． 1．已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a) ． 3a与-3a还是向量；3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即|3a|=3|a|；-3a的方向与a的方向相反， -3a的长度是a的长度的3倍，即|-3a|=3|a|． = a+a+a =3a = (-a)+(-a)+(-a) = -3a 2．请观察3a与-3a是否还是一个向量？若是向量，它们的长度和方向有何变化？ 4 通过对问题1及其探究的理解，我们如何来定义平面向量和实数的乘法呢？ 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa． 它的长度与方向规定如下： （1） |λa|=|λ||a|； （2） 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反． 特别地，当λ=0或a=0时，λa =0． 向量数乘的定义 5 1．结合向量数乘的定义，你对零向量，相反向量有什么新的认识? 数零乘任何向量的结果为零向量，零向量与任何数的乘积为零向量；−1乘任何向量得到这个向量的相反向量． 2．向量数乘有什么几何意义? 如图，把向量a沿着a的方向或a的反方向，将a的长度扩大（或缩小）|λ|倍．如2a的几何意义就是沿着向量a的方向，长度放大到原来的2倍． 3．如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，向量b该如何表示？ 向量a，b之间的关系怎样？ b=3.5 a ，b的方向与a的方向相同，b的长度是a的长度的3.5倍． 6 我们知道实数的乘法有很好的运算律，那么，向量数乘运算有哪些运算律呢?请你写出来并加以验证． 设λ，μ为实数，a，b为向量，那么根据向量数乘的定义，可以得到如下运算律： (1) (λ＋μ)a＝λ a＋μ a； （第一分配律） (2) λ(μa)＝λμ a； （结合律） (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． （第二分配律） 特别地，我们有 (-λ)a=-(λa)= λ(-a)， λ(a-b)= λa-λb ． 验证如图： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)= λμ1a±λμ2b． 7 (1)若λa＝0，则a＝0．( ) (2)若a≠0，则－表示与a方向相反的单位向量．( ) (3)若x是未知向量，且3x－2(x－a)＝0，则x＝－2a．( ) (4)若b＝2a，则|b|＝2|a| ．( ) 概念辨析 提示:若λa＝0，则λ＝0或a＝0．  8 已知a，b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由． (1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍； (2)－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a的模的倍； (3)－2a与2a是一对相反向量； (4)a－b与－(b－a)是一对相反向量． 解： (1)真命题．∵2a＝a＋a与a方向相同，且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|． (2)真命题．