2.2.2 向量的减法 课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

2.2.2 向量的减法 第二章 平面向量及其应用 向量减法的定义及其几何意义． 向量减法的几何意义． 1．能准确说出向量减法的定义，会作两个向量的差向量，能运用向量的减法解决简单问题； 2．经历类比数的减法运算定义向量的减法运算的过程，体会类比的研究方法；通过探究作两个向量差向量的过程，体会数形结合、特殊与一般、分类与整合等数学思想，提升直观想象、数学抽象、数学运算等素养； 3．在探索作两个向量的差向量的过程中，感受向量加减法之间的内在联系，体会事物之间可以相互转化的辩证思想． 2 寓言《天鹅、梭子鱼和虾》 一天，梭子鱼、虾和天鹅，出去把一辆小车从大路上拖下来：三个家伙一齐负起沉重的担子．他们用足劲，身上青筋根根暴露．无论他们怎样的拖呀，拉呀，推呀，小车还是在老地方，一点也没有移动．倒不是小车重得动不了，而是另有缘故：天鹅使劲往上向天空直提，虾一步一步向后倒拖，梭子鱼又向池塘拉去． 对于这个结果我们可以用物理学知识解释，实质上，在这个寓言中还蕴含着丰富的数学知识——向量的加法运算和减法运算等知识．本节课我们就来研究向量的减法． 3 数x的相反数可以表示为-x，那么向量a的相反向量可以怎样表示？ 向量a的相反向量可以表示为-a． -a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？ 规定：零向量的相反向量仍是零向量． 因为-(-a)= a，所以-a的相反向量是a． 4 在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数．据此原理，向量a-b可以怎样理解？ 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量-b，即a-b=a+(-b)． 两个向量的差还是一个向量吗？ 因为两个向量的差本质是一个向量加上另外一个向量的相反向量，因此两个向量的差仍是向量． 向量的减法定义 5 如图，△ABC是等边三角形，点D，F是边AB的三等分点，点M，N是边BC的三等分点，点E，H是边AC的三等分点，点G是FH的中点，记=a，=b，请你做出向量a-b，并说明理由． 方法一：因为=a，=−b， 依据向量加法的平行四边形法则，可知=a-b ．因为=， 所以=a-b 即−=． 方法二：因为==a，=−b， 依据向量加法的三角形法则，可知=a-b ， 即−=． 6 请在一张白纸上，任意画出两个不共线的向量a，b，如下图各种情况，作出向量a-b，并说明理由． 任意画出共线且非零的两个向量a，b，如下图各种情况，作出向量a-b ，并说明理由． 任意画出的两个向量a，b中有且仅有一个为零向量．作出向量a - b ，并说明理由． 7 如图： 给定向量a与b，作有向线段=a，=b， 那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量就是a-b，即−=． 特别地：当向量a=b时，a-b=0；当向量a=0时，0-b=-b；当向量b=0时，a-0=a． 8 设向量a，b不共线，如图作有向线段=a，=b， =−b，以OA，OC为两邻边作平行四边形，则图中哪些有向线段可以表示a-b？ 如图：==a-b， 求作两个向量a，b的差向量有三角形法则，也可转化为加法的平行四边形法则，其中三角形法则的作图特点是差向量的终点指向被减向量的终点． A B D C O 9 我们知道对任意的两个向量a与b，均有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，那么|a － b|，|a|＋|b|，||a|－|b||之间又有怎样的大小关系? 对任意的两个向量a，b，均有||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| ， 当且仅当向量a与b同向时，|a－b|=||a|－|b||； 当且仅当向量a与b反向时，|a－b|=|a|＋|b|． 10 (1) −=.( ) (2)相反向量是共线向量.( ) (3) a－b的相反向量是b－a.( ) (4) |a－b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|．( ) 概念辨析 11 如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b＋c． 解：如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b， 则＝a－b，再作＝c，连接BD， 则＝+＝a－b＋c． 12 已知|a|=6，|b|=8，且a⊥b．⑴探索|a+b|与|a-b|的关系；⑵求|a-b|． ⑴因为a⊥b，即⊥，所以ABCD为矩形． 所以||=||，即|a+b|=|a-b|． 解：如图，设=a，=b， 以AB，AD为邻边作ABCD， 则=a+b，=a-b． ⑵在Rt△DAB中，||=6，||=8，由勾股定理，得||2=||2+||2=62+82=100． 所以|a-b|=||=10． 13 如图：点O是ABCD外一点，试用，，，表示． 解：由于=+，因此只需将用，表示． 而==， 故=+= =+()=+． 利用向量加、减法求解或证明问