2.2.1 向量的加法 课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

2.2.1 向量的加法 第二章 平面向量及其应用 向量加法的概念． 对向量加法的定义的理解． 1.理解向量加法的定义，熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会求两个 向量的和及几个向量的和； 2.能准确理解、表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用向量加法的交换律和结合律进行向量运算； 3.从物理知识的引入到数学知识的形成过程，使学生体会到知识之间的相互联系，建立全面、科学的价值观. 2 合力 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个重物，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力． 你能从数学的角度解释这种现象吗？ 物理学中的两个力的和体现了向量的什么运算？ 向量的合成问题，即向量的加法． 3 在大型生产车间里，一重物被天车从A处搬运到B处，则重物的位移情况如何？ 它的实际位移可以看作水平运动的分位移与竖直运动的分位移的合位移．位移的合成遵循平行四边形法则． 4 通过以上实例，我们就可以得到向量加法的平行四边形法则： 已知两个不共线的向量a ， b，在平面内任取一点A，作有向线段＝a， ＝b，以有向线段和为邻边作▱ABCD，则有向线段表示的向量即为向量a与b的和，记作a＋b.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则． 5 飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移相同吗？ 相同．我们把后面这样一次位移叫作前面两次位移的合位移． 通过以上实例，我们就可以得到向量加法的三角形法则： 作有向线段＝a，以有向线段的终点为起点，作有向线段＝b，连接A，C得到有向线段，也可以表示向量a与b的和．这种求两个向量的和的作图方法称为向量加法的三角形法则． 6 借助向量加法的三角形法则，对任意不共线的两个向量a，b，|a＋b|与|a|＋|b|，|a|－|b|之间有怎样的大小关系? ||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|（当且仅当a与b同向或反向时取等号）． 互为相反向量的两个向量的和是多少？ 互为相反向量的两个向量的和为零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0． 7 向量加法的平行四边形法则和三角形法则有怎样的区别与联系？ 区别：①三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和． 联系：三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半，当两个向量不共线时，两种加法法则在本质上是一致的． 8 我们熟知，数的加法满足结合律和交换律，那么向量的加法满足哪些运算律呢？ 向量加法满足交换律：a＋b＝b＋a． 向量加法满足结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 证明：如图，a＋b+=，b＋a+=， 所以a＋b＝b＋a． 特别地：对于零向量与任一向量a的和有0＋a＝a＋0＝a. 证明：如图，(a＋b)＋c＝． a＋(b＋c)＝， 所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 9 (1) 0＋a＝a＋0＝a.( ) (2) ＋ ＝ .( ) (3)两个向量相加结果可能是一个数量.( ) (4) ＋ ＝ 0 ．( ) 概念辨析 向量加法三角形法则． 两相加向量的和向量一定是向量.  10 如图，已知向量a，b ，求作向量a＋b． 解：作法1：（平行四边形法则）： 作法2：（三角形法则）： 如图，在平面内任取一点O，作＝a， ＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b． 如图，在平面内任取一点O，作＝a， ＝b，则＝a＋b．   11 如图所示，已知向量a，b，c，如图所示，求作a＋b＋c． 如图，在平面内任取一点O，作＝a， ＝b ， ＝c，则由向量加法的三角形法则，得＝a＋b，＝a＋b＋c． 用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用． 12 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点．求证： ＋ ＋ ＋ ＝4 ． ∴ ＋ ＋ ＋ ＝ 4 . ＝ ＋ ＋＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ 4 ＋( ＋ ＋ ＋ ) ＝ 4 ＋( ＋ )＋( ＋ ) 证明　∵ ＋ ＋ ＋ ＝ 4 ＋0＋0 ＝ 4 13 轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了40n mile到达B处，再由B处沿正北方向行驶40n mile到达C处．求此时轮船与A港的相对位置． 解： ，分别表示轮船的两次位移，则表示轮船的合成位移， = + ．设正东方向所在直线为