2024年中考数学二轮复习突破课件：专题四 二次函数综合题

专题四 二次函数综合题 类型1　与线段有关的问题（含最值） 典例1 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于B（－4，0），C（1，0）两点，与y轴交于点A（0，－4）. 　　　 典例1图 （1） 求该抛物线对应的函数表达式. （2） 如图②，作直线AB，P是直线AB下方抛物线上的动点，过点P作y轴的平行线交AB于点E，过点P作PD⊥AB于点D.求PD＋PE的最大值及此时点P的坐标. （3） 在（2）中PD＋PE取得最大值的条件下，将该抛物线向左平移2个单位，P'为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点A'，M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点P'，A'，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标. [思路点拨] （1） 将A（0，－4），B（－4，0），C（1，0）代入y＝ax2＋bx＋c即可建立方程组求解.（2） 先求出直线AB对应的函数表达式，设点P的坐标为（t，t2＋3t－4），则点E的坐标为（t，－t－4）.建立PD＋PE与t之间的函数表达式即可求解.（3） 根据平移确定新抛物线对应的函数表达式，进而可求出点A'的坐标，以平行四边形的对角线为切入点，根据“平行四边形的对角线互相平分”即可求解. 解：（1） 根据题意，得抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（0，－4），B（－4，0），C（1，0），∴ 该抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋3x－4. 典例1图 （2） 设直线AB对应的函数表达式为y＝kx＋b1.∵ 点A（0，－4），B（－4，0）在直线AB上，∴ 解得∴ 直线AB对应的函数表达式为y＝－x－4.∵ PE∥y 轴，且PD⊥AB，∴ 易得∠DPE＝∠ABC.∴ PD＝PE·cos∠DPE＝PE·cos∠ABC.∵ OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴ ∠ABC＝45°.∴ PD＝PE.∴ PD＋PE＝PE＋PE＝PE. 设点P的坐标为（t，t2＋3t－4），－4＜t＜0，则点E的坐标为（t，－t－4）.∴ PE＝－t－4－t2－3t＋4＝－t2－4t＝－（t＋2）2＋4.∴ 当t＝－2时，PE的长取得最大值4，此时PE取得最大值2＋4，点P的坐标为（－2，－6）.∴ PD＋PE的最大值为4＋2，此时点P的坐标为（－2，－6）. （3） ∵ 将抛物线y＝x2＋3x－4向左平移2个单位得抛物线y＝（x＋2）2＋3（x＋2）－4＝x2＋7x＋6，∴ 新抛物线的对称轴是直线x＝－＝－.在y＝x2＋7x＋6中，令x＝0，得y＝6.∴ 点A'的坐标为（0，6）.将点P（－2，－6）向左平移2个单位得点P'（－4，－6）.设点M，N（r，r2＋7r＋6）.分三种情况讨论： ① 当A'P'， MN为对角线时，A'P'，MN 的中点重合，∴ 解得r＝－.∴ 点N的坐标为.② 当A'M，P'N为对角线时，A'M，P'N的中点重合，∴ 解得r＝.∴ 点N的坐标为. ③ 当A'N，P'M为对角线时，A'N，P'M的中点重合，解得r＝－.∴ 点N的坐标为.综上所述，符合条件的点N的坐标为或或. 跟踪训练⁠ ⁠ 1. （2023·合肥庐江二模）如图，直线m：y＝b和直线n：y＝x－b分别与y轴交于点A，B，顶点为C的抛物线L：y＝－x2＋bx与x轴的右交点为D. （1） 若AB＝8，求b的值和抛物线L的对称轴. 解：（1） 在y＝x－b中，令x＝0，得y＝－b.∴ 点B（0，－b）.∵ AB＝8，点A（0，b），∴ b－（－b）＝8，解得b＝4.∴ 抛物线L对应的函数表达式为y＝－x2＋4x＝－（x－2）2＋4.∴ 抛物线L的对称轴为直线x＝2. 第1题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2） 当顶点C在直线m下方时，求顶点C到直线m的距离的最大值. 解：解：（2） ∵ y＝－x2＋bx＝－＋，∴ 抛物线L的顶点C的坐标为.∵ 点C在直线m下方， ∴ 点C到直线m的距离为b－＝－（b－2）2＋1.∵ －＜0，∴ 当b＝2时，b－取得最大值1.∴ 顶点C到直线m距离的最大值为1. 第1题 （3） 在抛物线L和直线n所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.当b＝2023时，求“整点”的个数. 解：解：（3） 当b＝2023时，抛物线L对应的函数表达式为y＝－x2＋2023x，直线n对应的函数表达式为y＝x－2023.令－x2＋2023x＝x－2023，即x2－2022x－2023＝0，解得x1＝－1，x2＝2023.∵ 对y＝－x2＋2023x和y＝x－2023，每一个整数x的值都对应一个整数y的值，且－1和2023之间（不包括