2024年中考数学二轮复习突破课件：专题三 多解问题

专题三 多解问题 类型1　特殊三角形中的多解题 考向1：与等腰三角形相关的分类讨论 典例1 （2023·阜阳模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B，DE与AC交于点E. 典例1图 （1） 求证：△ABD∽△DCE. （2） 若∠B＝40°，当∠ADB的度数为多少时，△ADE是等腰三角形？ [思路点拨] （1） 根据三角形外角的性质证明∠BAD＝∠CDE，再根据等腰三角形的性质证明∠B＝∠C，即可证明△ABD∽△DCE.（2） 分三种情况：DA＝DE；AD＝AE；EA＝ED.根据等腰三角形的性质分别求出∠ADB的度数即可. 解：（1） ∵ ∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠ADC＝∠ADE＋∠CDE，∠ADE＝∠B，∴ ∠BAD＝∠CDE.∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C. ∴ △ABD∽△DCE. 典例1图 （2） 当DA＝DE时，∠DEA＝∠DAE.∵ ∠ADE＝∠B＝∠C＝40°， ∴ ∠DAE＝∠DEA＝×（180°－40°）＝70°.∴ ∠ADB＝∠DAE＋∠C＝110°.当AD＝AE时，∠DEA＝∠ADE＝∠B＝40°＝∠C.此时点D与点B重合，不合题意.当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝∠B＝40°.∴ ∠ADB＝∠EAD＋∠C＝80°.综上所述，当∠ADB的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形. 典例1图 跟踪训练⁠ ⁠ 1. （2023·芜湖无为模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），点B的坐标为（3，0）.若在x轴上有一点P，使得△PAB为等腰三角形，则点P的坐标为 　（3－，0）或（3＋，0）或（－1，0）或　　⁠. 第1题 （3－，0）或（3＋，0）或 （－ 1，0）或　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2. （2023·滁州定远模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝5，P为△ABC内一动点.过点P作PD⊥AC于点D，延长DP交AB于点E，连接BP，CP.若△BCP为等腰三角形，且S△PBC＝，求DP的长. 第2题 解：∵ S△PBC＝BC·CD＝，BC＝5，∴ CD＝3.∴ AD＝AC－CD＝6.∵ PD⊥AC，∴ ∠EDA＝90°＝∠ACB.∴ DE∥BC. ∴ △ADE∽△ACB.∴ ＝.∴ ＝.∴ DE＝.如图，过点P作PF⊥BC于点F，则∠PFC＝∠ACB＝∠CDE＝90°.∴ 四边形CDPF是矩形.∴ PF＝CD＝3，DP＝CF.① 如图①，当PB＝BC＝5时，在Rt△PBF中，BF＝＝4.∴ DP＝CF＝BC－BF＝1.∵ DP＜DE.∴ 点P在线段DE上，符合题意. 　 　 第2题答案 第2题 ② 如图②，当PC＝PB时，DP＝CF＝BC＝×5＝.∵ DP＜DE，∴ 点P在线段DE上，符合题意.③ 如图③，当PC＝BC＝5时，在Rt△CFP中，CF＝＝4.∵ CF＞DE，∴ 点P不存在.综上所述，DP的长为1或. 　 　 第2题答案 第2题 考向2：与直角三角形相关的分类讨论 典例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将∠B翻折使得点B落在边AC上的点D处，折痕交BC于点E，交AB于点F，设CD＝x，BE＝y. 典例2图 （1） 写出y与x之间的函数表达式及x的取值范围. （2） 若△ADF为直角三角形，求x的值. [思路点拨] （1） 根据折叠的性质得到DE＝BE，根据勾股定理列式计算，得到答案；（2） 分∠ADF＝90°，∠AFD＝90°两种情况，根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值. 解：（1） ∵ BE＝y，BC＝2，∴ CE＝2－y.由折叠的性质，可知DE＝BE＝y.在Rt△DCE中，∵ CD2＋CE2＝DE2，∴ x2＋（2－y）2＝y2.整理，得y＝x2＋1（0＜x＜2）. 典例2图 （2） 在Rt△ABC中，∵ ∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴ AB＝2BC＝4.由勾股定理，得AC＝＝＝2.∴ AD＝AC－CD＝2－x.由折叠的性质，可知DF＝BF.∴ AF＝4－DF.当∠ADF＝90°时，∵ ∠A＝30°，∴ AF＝2DF，即4－DF＝2DF.∴ DF＝.∴ AD＝DF＝.∴ 2－x＝，解得x＝.当∠AFD＝90°时，∵ ∠A＝30°，∴ AD＝2DF.在Rt△ADF中，由勾股定理，得DF2＋AF2＝AD2，即DF2＋（4－DF）2＝（2DF）2，解得DF＝2－2或DF＝－2－2（不合题意，舍去）.∴ AD＝4－4.∴ 2－x＝4－4，解得x＝4－2.综上所述，若△ADF为直角三角形，则x的值为或4－2. 典例2图