2024年中考数学二轮复习突破课件：专题二 几何最值问题

专题二 几何最值问题 类型1　由垂线段最短求最值 模型1：“一动一定”型（一个动点＋一个定点） 典例1 （2023·亳州二模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N. 典例1图 （1） ∠MDN的度数是 　90°　⁠. （2） 若AB＝6，AC＝8，连接MN，则当线段MN最短时，求线段AM的长. 90° [思路点拨] （1） 根据有三个直角的四边形是矩形，可证得四边形DMAN是矩形，因此∠MDN＝90°.（2） 连接AD，根据矩形的对角线相等，可知AD＝MN.当线段MN最短时，线段AD也最短，因此当AD⊥BC时，AD最短，此时MN最短.结合等面积法与相似三角形可求得此时线段AM的长. 解：如图，连接AD.∵ ∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴ BC＝＝10.∵ DM⊥AB，DN⊥AC，∴ ∠DMA＝∠DNA＝90°.又∵ ∠BAC＝90°，四边形DMAN是矩形，∴ MN＝AD.当AD⊥BC时，线段AD最短，即线段MN最短，此时S△ABC＝AB·AC＝BC·AD.∴ AD＝＝.∵ ∠AMD＝∠ADB＝90°，∠MAD＝∠DAB， ∴ △ADM∽△ABD.∴ ＝.∴ ＝.∴ AM＝. 典例1图答案 典例1图 跟踪训练⁠ ⁠ 1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，P是线段AB上的一个动点，则CP长的最小值为 　​　⁠. 第1题 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 模型2：“两动一定”型（两个动点＋一个定点） 典例2 （2023·池州贵池模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，∠B＝30°，动点M，N分别在边AB，BC上，则CM＋MN的最小值是（　D　） 典例2图 D A. 2 B. 2 C. 6 D. 3 [思路点拨] 作点C关于AB的对称点E，连接EB，EM，EN，过点E作EF⊥BC于点F.先根据轴对称将CM＋MN转化为EM＋MN，再根据两点之间线段最短和垂线段最短，可知EM＋MN≥EN≥EF，故CM＋MN的最小值为EF的长，结合三角函数求出EF的长即可. 跟踪训练⁠ ⁠ 2. （2023·合肥模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2＋2，BD平分∠ABC.若P，Q分别是BD，BC上的动点，则CP＋PQ的最小值是（　B　） A. 2＋2 B. ＋3 C. 2＋2 D. ＋4 第2题 B 类型2　利用“两点之间，线段最短”求最值 模型1：“一线两定”型（一个动点＋两个定点） （1） 异侧线段和的最小值问题 典例3 （2023·黄山模拟）如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是边BC上的高，E是AB的中点，F是AD上的动点，则EF＋CF的最小值为 　2　　⁠. 典例3图 [思路点拨] 连接CE，交AD于点F'.根据两点之间线段最短，当动点F与点F'重合时，EF＋CF的值最小，即为CE的长.利用勾股定理即可求解. 2　 跟踪训练⁠ ⁠ 3. （2023·阜阳太和一模）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAD，△PAB，△PBC，△PCD，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4，则下列结论中，错误的是（　D　） A. 若S1＝S3，则点P在AB的垂直平分线上 B. S2＋S4＝S1＋S3 C. 若AB＝4，BC＝3，则PA＋PB＋PC＋PD的最小值为10 D. 若△PAB∽△PDA，且AB＝4，BC＝3，则PA＝2.5 第3题 D （2） 同侧线段和最小值问题（将军饮马） 典例4 （2023·滁州定远一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为边AD的中点，P为对角线BD上的一个动点，连接PA，PE，则PA＋PE的最小值是 　​　⁠.　 典例4图 [思路点拨] 连接CP，CE，易证△ABP≌△CBP，得AP＝CP，当E，P，C三点共线时，CP＋PE取得最小值，为CE的长，利用勾股定理即可求解. ​ 跟踪训练⁠ ⁠ 4. （2023·马鞍山模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，点P在BC上运动.当PA＋PD取得最小值时，△APD的边AP上的高为（　B　） A. B. C. D. 第4题 B 模型2：“一点两线”型（两个动点＋一个定点） 典例5 如图，∠AOB＝30°，M，N分别为射线OA，OB上的动点，P为∠AOB内一点，连接OP，PM，PN，MN.若OP＝5，则△PMN的周长的最小值为 　5　⁠.　 典例5图 [思路点拨] 分别作点P关于OA，OB的对称点C，D