2024年中考数学二轮复习题型突破课件：与中点有关的辅助线问题

与中点有关的辅助线问题 类型1　构造中线 方法指导：（1） 当题目中已知直角三角形与斜边的中点时，可尝试连接直角顶点与斜边的中点，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解题；（2） 当题目中已知等腰三角形与底边的中点时，可连接等腰三角形的顶角顶点与底边的中点，利用“三线合一”解题. 典例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于点E，AE＝2，则CE的长为（　C　） 典例1图 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 C 典例2 如图，在△ABC中，∠C＝25°，点D在边BC上，且∠DAC＝90°，AB＝CD.求∠BAC的度数. 解：如图，取线段CD的中点E，连接AE.∵ ∠DAC＝90°，∴ AE＝CE＝DE＝CD.∴ ∠CAE＝∠C.∵ ∠C＝25°，∴ ∠CAE＝25°.∴ ∠AEB＝∠CAE＋∠C＝50°.∵ AB＝CD，∴ AB＝AE.∴ ∠B＝∠AEB＝50°. ∵ ∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴ 50°＋25°＋∠BAC＝180°.∴ ∠BAC＝105°. 典例2图答案 类型2倍长中线 方法指导：当题目中已知三角形一边上的中线时，可尝试将此中线延长至它的一倍，构造全等三角形，利用全等三角形的性质解题. 典例3 如图，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长，交AC于点E.若AE＝EF，求证：AC＝BF. 典例3图答案 解：如图，延长AD至点H，使DH＝AD，连接BH.∵ AD是△ABC的中线，∴ CD＝BD.又∵ ∠ADC＝∠HDB，AD＝HD， ∴ △ADC≌△HDB.∴ AC＝HB，∠CAD＝∠H.∵ AE＝EF，∴ ∠EAF＝∠AFE.∴ ∠H＝∠AFE.又∵ ∠AFE＝∠BFH，∴ ∠H＝∠BFH.∴ BF＝BH.∴ AC＝BF. 典例4 如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE. 解：如图，延长CE到点F，使EF＝CE，连接BF，则CF＝2CE.∵ CE是△ABC的中线，∴ BE＝AE.在△BEF和△AEC中， ∵ ∴ △BEF≌△AEC.∴ ∠EBF＝∠A，BF＝AC.∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB.∴ ∠CBD＝∠A＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.∵ CB是△ADC的中线，∴ AB＝BD.又∵ AB＝AC，AC＝BF，∴ AB＝BF.∴ BF＝BD.在△CBF和△CBD中， ∵ ∴ △CBF≌△CBD.∴ CF＝CD.∴ CD＝2CE. 典例4图答案 类型3　构造中位线 方法指导：（1） 当题目中已知三角形两边的中点时，可尝试连接这两点，利用三角形的中位线定理解题；（2） 当题目中已知三角形一边的中点时，可尝试取另一边的中点，或过此中点作另一条边的平行线，构造三角形的中位线解题；（3） 当题目中存在有公共端点的线段及它们的中点时，可通过补形构造三角形的中位线解题. 典例5 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB的中点，点D在边BC上，∠BDE＝30°.求证：DE＝AC. 解：如图，过点E作 EF⊥BD，交BD于点F，则∠EFD＝90°.∵ ∠BDE＝30°，∴ DE＝2EF.∵ ∠C＝90°，∠EFD＝90°，∴ ∠C＋∠EFD＝180°.∴ EF∥AC.又∵ E为AB的中点，∴ EF是△ABC的中位线.∴ AC＝2EF.∴ DE＝AC. 典例5图答案 典例6 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AB，AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，M是BC的中点，连接MD，ME.求证：AB－AC＝2DM. 解：如图，延长CD交AB于点F.在△ADF和△ADC中， ∵ ∴ △ADF≌△ADC.∴ AF＝AC，DF＝DC.又∵ M是BC的中点，∴ DM是△CBF的中位线.∴ DM＝BF＝（AB－AF）＝（AB－AC）.∴ AB－AC＝2DM. 典例6图答案 强化练习 1. 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF，D为AB的中点，连接DF并延长，交AC于点E.若AB＝6，BC＝10，则线段EF的长为（　B　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第1题 B 1 2 3 4 5 6 7 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，连接EF，DE.若EF＝2，则DE的长为（　B　） A. 2 B. 1 C. D. ＋1 第2题 B 1 2 3 4 5 6 7 3. （2023·滁州凤阳二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E.F，G分别是AD，AE的中点，则FG的长为（　B　） A. 3 B.