2024年中考数学二轮复习题型突破课件：利用模型巧解全等、相似问题

利用模型巧解全等、相似问题 类型1“手拉手”模型 全等 “手 拉手” 模型 ⁠ ⁠ △ABC和△ADE都是等边三角形 结论：△ABD≌△ACE ⁠ ⁠ △ABC和△ADE都是等腰直角三角形 结论：△ABD≌△ACE ⁠ ⁠ △ABC和△ADE都是等腰三角形 结论：△ABD≌△ACE 相似 “手 拉手” 模型 ⁠ ⁠ “两任意相似三角形”手拉手 ⁠ ⁠ “两直角三角形”手拉手 结论：△AOB∽△COD，＝＝ 典例1 如图，以锐角三角形CDE的边CD，DE为边向外分别作正方形ABCD和正方形DEFG，连接AE和CG交于点H，CG与DE交于点K.求证： 典例1图 （1） AE＝CG. 解：（1） ∵ 四边形ABCD和DEFG是正方形，∴ AD＝CD，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG.∴ ∠ADC＋∠CDE＝∠EDG＋∠CDE，即∠ADE＝∠CDG. ∴ △ADE≌△CDG.∴ AE＝CG. （2） DG·EK＝GK·HE. 解：（2） ∵ △ADE≌△CDG，∴ ∠AED＝∠CGD.又∵ ∠EKH＝∠GKD，∴ △HKE∽△DKG.∴ ＝. ∴ DG·EK＝GK·HE. 典例2 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点.若E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF.求证：BE＝AF. 典例2图答案 解：如图，连接AD.∵ ∠BAC＝90°，AB＝AC，∴ ∠C＝∠B＝45°.∵ D为BC的中点，∴ AD⊥BC，AD＝BD＝DC，AD平分∠BAC.∴ ∠DAC＝∠BAD＝∠B＝45°，∠ADC＝90°.∵ DE⊥DF，∴ ∠EDF＝90°. ∴ ∠ADF＋∠FDC＝90°，∠FDC＋∠BDE＝90°.∴ ∠BDE＝∠ADF.在△BDE和△ADF中，∵ ∴ △BDE≌△ADF.∴ BE＝AF. 类型2　一线三等角模型 类　别 锐　角 直　角 钝　角 同侧型 ⁠ ⁠ ∠B＝∠ACE＝∠D＝α ⁠ ⁠ ∠B＝∠ACE＝∠D＝90° ⁠ ⁠ ∠B＝∠ACE＝∠D＝α 结 论 1. △BAC∽△DCE，若C为BD的中点，连接AE，则射线AC平分∠BAE，射线EC平分∠AED，△BAC∽△CAE∽△DCE 2. 若AC＝CE，则△BAC≌△DCE，BD＝AB＋DE 典例3 如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，连接DF，EF，且∠DFE＝60°.若D为AB的中点，BF＝BC＝2，求CE的长. 典例3图 解：∵ BF＝BC＝2，∴ BC＝6.∴ CF＝BC－BF＝6－2＝4.∵ △ABC为等边三角形，∴ ∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝6.∴ ∠BDF＋∠DFB＝180°－∠B＝120°.∵ ∠DFE＝60°，∴ ∠DFB＋∠EFC＝180°－60°＝120°.∴ ∠BDF＝∠EFC.∵ D为AB的中点，∴ BD＝AB＝3.在△BDF和△CFE中，∵ ∠B＝∠C，∠BDF＝∠CFE，∴ △BDF∽△CFE. ∴ ＝，即＝.∴ CE＝. 典例3图 典例4 如图，在正方形ABCD中，E是CD上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，连接DF.若EF＝BE，求∠EDF的度数. 典例4图答案 解：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠C＝90°，BC＝CD.∵ EF⊥BE，∴ ∠BEF＝90°.如图，过点F作FH⊥CD，交CD的延长线于点H，则∠H＝90°.∵ ∠C＝∠BEF＝90°，∴ ∠CBE＋∠CEB＝90°，∠HEF＋∠CEB＝90°.∴ ∠CBE＝∠HEF.∵ BE＝EF，∠C＝∠H， ∴ △BCE≌△EHF.∴ BC＝EH，CE＝HF.∵ BC＝CD，∴ CD＝EH. ∴ CE＝DH＝FH.∴ ∠FDH＝45°.∴ ∠EDF＝180°－45°＝135°. 类型3　半角模型 模　型 条件及结论 图　示 含45° 角的半 角模型 条件：在正方形ABCD中，已知∠EAF＝45°，把△ADF绕点A按顺时针方向旋转到△ABG的位置，使AD与AB重合. 结论：△AEF≌△AEG，EF＝EG＝BE＋DF. ⁠ ⁠ 模　型 条件及结论 图　示 含60° 角的半 角模型 条件：已知△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，把△DBE绕点D按顺时针方向旋转到△DCG的位置，使DB与DC重合. 结论：△DFE≌△DFG，EF＝GF＝BE＋CF.