2024年中考数学二轮复习题型突破课件：构造辅助圆解题

构造辅助圆解题 类型1　定点定长构造辅助圆 模型解读：如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则点A，B，C，D在以点O为圆心，OA（或OB，OC，OD）为半径的圆上（本质是依据圆的定义，圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合）. 典例1 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD.若∠CAD＝76°，则∠CBD的度数为 　38°　⁠.　 典例1图 38° 典例2图 典例2 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则BD的长为 　​　⁠.　 ​ 典例3 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是边AD的中点，N是边AB上的动点，将△AMN沿MN所在的直线折叠，得到△A'MN，连接A'C，则A'C的长的最小值是 　－1　⁠.　 典例3图 －1 类型2　利用四点构造辅助圆 模型解读： 1. 如图①②，Rt△ABC和Rt△ABD有公共斜边，则A，B，C，D四点共圆，即有公共斜边的两个直角三角形，无论直角顶点在斜边的同侧还是异侧，都可得到四点共圆. 　　 2. 如图③，AB为△ABC和△ABD的公共边，点C，D在AB的同侧，且∠C＝∠D，则A，B，C，D四点共圆. 　　 3. 如图④，在四边形ABCD中，若满足其中一组对角之和等于180°，如∠ABC＋∠ADC＝180°，则A，B，C，D四点共圆，其圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点. 典例4 如图，△ABC和△ABD均为直角三角形，∠ADB＝∠ACB＝90°，连接CD.若∠CAB＝35°，则∠CDB的度数为（　A　） 典例4图 A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° A 典例5 如图，在△ABC中，AB＝5，∠ACB＝90°，∠CPB＝∠A，tan∠CPB＝，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ长的最大值是 　​　⁠. 典例5图 ​ 典例6 如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，P为AB上一动点，PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，连接DE，求DE长的最小值. 解：如图，连接PC，取CP的中点O，连接OE，OD，过点O作OH⊥DE于点H.∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠ACB＝∠B＝60°，AB＝BC＝AC＝6.∵ PD⊥BC，PE⊥AC，∴ ∠PEC＝∠PDC＝90°.∵ OP＝OC， ∴ OE＝OP＝OC＝OD.∴ C，D，P，E四点在以点O为圆心，OC长为半径的圆上.∴ ∠EOD＝2∠ECD＝120°.∵ OH⊥DE，∴ DH＝EH，∠EOH＝∠DOE＝60°.∴ DE＝2EH＝2OE·sin∠EOH＝OE＝CP.∴ 当CP的值最小时，DE的值最小.根据垂线段最短，可知当CP⊥AB时，CP的长取得最小值，此时CP＝BC·sinB＝3.∴ DE长的最小值为×3＝. 典例6图答案 类型3　定弦对定角构造辅助圆 模型解读：在△ABC中，∠C为定角（∠C＝α），所对的弦AB的长是定长.如图①，当∠C为锐角时，点C在以点O为圆心，圆心角为360°－2α的优弧上运动（点O，C在AB的同侧）；如图②，当∠C＝90°时，点C在以AB为直径的圆上运动；如图③，当∠C为钝角时，点C在以点O为圆心，圆心角为360°－2α的劣弧上运动（点O，C在AB的异侧）. 典例7 如图，∠ABC＝∠EAD＝90°，D是线段AB上的动点且AC⊥ED于点G，AB＝AE＝4，则BG长的最小值为（　C　） 典例7图 A. 2 B. 2－1 C. 2－2 D. C 典例8 如图，O是等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，且∠AOB＝135°.若AB＝2，则OC长的最小值为 　1＋－　⁠. 典例8图 1＋－ 典例9 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，求线段CE长的最小值. 解：如图，取AB的中点O，以点O为圆心，OA长为半径画半圆O. ∵ AE⊥BE，∴ 点E在半圆O上，连接CO交半圆O于点E'，则当点E位于点E'的位置时，线段CE的长取得最小值.∵ AB＝4，O为AB的中点， ∴ OA＝OB＝OE'＝2.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC＝90°.∵ BC＝6，∴ OC＝＝＝2.∴ CE'＝OC－OE'＝2－2. ∴ 线段CE长的最小值为2－2. 典例9图答案 强化练习 1. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边BC上，沿AE将正方形进行折叠，使点B落在正方形ABCD内部的点P处，则CP长的最小值是（　C　） A. 2 B. 2－ C. 2－2 D. 2＋2 第1题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，D是边BC上一动点，连接AD，在AD上取一点E，使∠DAC＝∠DCE，连接B