2024年苏科版九年级中考数学提优几何模型10：常见相似模型（二）

冲刺中考 中考提优几何模型十常见相似模型（二） 模型3：一线三等角型相似 模型4：倒数型相似 几何专题九：常见相似模型（二） 模型3：一线三等角型相似 已知：如图①②③所示，∠B=∠ACE=∠D，则△ABC∽△CDE. 典型例题 例1：如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=，则△ABC的边长为 . 例2：如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取一点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有 个. 作业训练 1．如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（  ） A．B．C． D． 2.如图，已知矩形AOBC的顶点O在坐标原点，点A的坐标是（－2，1），点B的纵坐标是3，则点C的坐标是（  ） A． B． C． D． 3.如图，在正方形ABCD中，P是BC上一点（点P不与点B，C重合），连接AP．作PE⊥AP，PE交CD于点E．若AB＝6，点P为BC的中点，则DE＝（  ） A． B． C． D． 4.如图，矩形ABCD，E在CD上，连接BE，将四边形ABED沿BE翻折得到四边形，若恰好经过点C，AB=3，AD=5，则线段BE的长为（    ） A． B． C． D． 5.如图，正方形的边长为8，是边上一动点（与B，C不重合），连接AE．是BC延长线上一点，过点E作AE的垂线交的平分线于点，则面积的最大值是 ． 6.如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，点P在BC上运动（不与B，C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 ． 7.如图，在矩形中，E为AB边上的一点，将△ADE沿DE翻折，得到△DEF，且F在BC边上，G为AD边上的一点，过点G作AD的垂线交DF于点H，连接AH交DE于点P，连接AF，若AB=7，BF=3，HA平分，则AG的长度为______． 8.如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点E在边BC上，连接AE，DE，且AE⊥DE． (1)求证：△ABE∽△ECD； (2)若AB=6，BC=11，CD=4，求的值． 9.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B、C点重合），∠ADE=45°. （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）设BD=，AE=，求关于的函数关系式； （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长. 10.如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=，DE交AC于点E，且.下列结论： ①△ADE∽△ACD； ②当BD=6时，△ABD与△DCE全等； ③△DCE为直角三角形，BD等于8或； ④； 其中正确的结论是 .（把你认为正确的结论的序号都填上） 11.如图，已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折痕与边BC交于O点，连接AP、OP、OA. （1）求证：△OCP∽△PDA； （2）若△OCP与△PDA的面积比为1:4，求边AB的长. 12．如图，在矩形中，，，直角三角板的直角顶点P在上滑动，点与，不重合，一直角边经过点，另一直角边与射线交于点． (1)求证：∽； (2)当时，求的长； (3)是否存在这样的点P，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 模型4：倒数型相似 如图，AF∥DE∥BC，则． 模型分析 ∵AF∥DE∥BC， ∴△BDE∽△BAF，△ADE∽△ABC ∴ ∴ 即， ∴.（两边同时除以DE） 典型例题 例1：如图，AC∥EF∥DB，若 AC=8 ， BD=12 ，则 EF=______． 例2：如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB、DB、AC于点E、F、G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG、FG的长． 作业训练 1．如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB=12m，CD=15m，则点M离地面的高度MH为（  ） A． B． C． D． 2.如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB=4，CD=6，则OM-EF值为（） A． B． C． D． 3．如图，△ABC和△DCB中，，斜边AC、BD交于点E，过点E作，垂足为F，若AB=2，CD=3，则EF的长度为（    ） A． B． C． D． 4.如图，AB＝4，CD