18.2.3 正方形 课时练习 2023—2024学年人教版数学八年级下册

18.2.3　正方形 第1课时　正方形的性质 【基础作业】 1.有下列四边形:①正方形,②矩形,③菱形.其中对角线一定相等的是 ( ) A.①②③ B.①② C.①③ D.②③ 2.如图,O为正方形ABCD对角线AC的中点,△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE的长度为 ( ) A. B. C.2 D.2 3.如图,正方形ABCD中,E为BC边上一点,F为BA延长线上一点,且CE=AF.连接DE、DF.求证:DE=DF. 【巩固作业】 4.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,P为边BC上一点,且BP=OB,则∠COP的度数为 ( ) 　　 A.15° B.22.5° C.25° D.17.5° 5.如图,在正方形ABCD中,AB=4,E是BC上的一点,且CE=3,连接DE,动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动,设点M的运动时间为t秒, 当△ABM和△DCE全等时,t的值是 ( ) A.3.5 B.5.5 C.6.5 D.3.5或6.5 6.如图,正方形ABCD的边长为8,E是CD的中点,HG垂直平分AE且分别交AE,BC于点H,G,则BG的长为　 　.  7.如图1,在边长为4的正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,连接AE,过点E作EF⊥AE,交边CD于点F,若DF=2,求BE的长. 下面是小明、小华和小东三位同学关于本题不同视角下的部分思维过程: 小明:从直线BD是正方形的对称轴角度看,连接EC,如图2,则EA=EC,∠ECD=∠EAD.又∵∠ADC=∠AEF=90°,…… 小华:从EF⊥AE的角度看,可以过点E作BC的平行线,交AB,CD于点M,N,如图3,通过证明△AME≌△ENF,…… 小东:从EF⊥AE的角度看,还可以过点E作BD的垂线,交DC的延长线于点P,如图4,…… 　请结合上面三位同学的视角,选择正确的思维过程,求BE的长. 8.如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足.连接EF,AG,并延长AG交EF于点H. (1)求证:∠DAG=∠EGH. (2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由. 【素养作业】 9.如图,在边长为4的正方形ABCD中,E,F分别是边BC,CD上的动点,且BE=CF,连接BF,DE,则BF+DE的最小值为 ( ) A.4 　　　　B.2 C.4 　　　　D.2 10.已知:正方形ABCD的两条对角线相交于点O,E是直线OC上的一动点,过点A作AG⊥BE交于点G,交BD于点F. (1)若动点E在线段OC上(不含端点),如图1,求证:OF=OE. (2)若动点E在线段OC的延长线上,如图2,试判断△OEF的形状,并说明理由. 参考答案 1.B　2.B 3.证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=CD,∠DAB=∠C=90°, ∴∠FAD=180°-∠DAB=90°. 在△DCE和△DAF中, ∴△DCE≌△DAF(SAS), ∴DE=DF. 4.B　5.D 6.1 提示:如图,连接AG,EG.∵E是CD的中点,∴DE=CE=4.∵HG垂直平分AE,∴AG=EG.设CG=x,则BG=8-x,在Rt△ABG和Rt△GCE中,根据勾股定理,得AG2=AB2+BG2,EG2=CE2+CG2.∵HG垂直平分AE,∴AG=EG,∴82+(8-x)2=42+x2,解得x=7,∴BG=BC-CG=8-7=1. 7.解:如图,过点E作BC的平行线,分别交AB,CD于点M,N. ∵四边形ABCD为正方形, ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴∠END=∠EMB=90°, ∴∠FEN+∠EFN=90°,且∠FEN+∠AEM=90°, ∴∠AEM=∠EFN. ∵EN+EM=AD=AB=AM+BM, 在△BME中,∠ABD=45°, ∴BM=EM,∴AM=EN. 又∵∠AEM=∠EFN,∠AME=∠ENF, ∴△AEM≌△EFN(AAS),∴EM=FN=BM. ∵BM=CN, ∴BM+FN=BM+CN=CF=DC-DF=4-2=2, ∴MB=EM=1,∴BE==. 8.解:(1)证明:在正方形ABCD中,AD⊥CD,GE⊥CD, ∴∠ADE=∠GEC=90°,∴AD∥GE,∴∠DAG=∠EGH. (2)AH⊥EF.理由:如图,连接GC交EF于点O. ∵BD为正方形ABCD的对角线,∴∠ADG=∠CDG=45°. 又∵DG=DG,AD=CD, ∴△ADG≌△CDG(SAS), ∴∠DAG=∠DCG. ∵∠ECF=90°, GE⊥CD,G