21.4 无理方程 学案 2023-2024学年沪教版八年级数学下册

无理方程 定义 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫无理方程/根式方程。 一、无理方程、有理方程和代数方程三者的关系 整式方程 有理方程 分式方程 代数方程 无理方程 二、无理方程的解法 解无理方程，一般通过方程两边同时乘方，使之转化为有理方程，从而求出方程的解。 解无理方程时，由于方程两边乘方相同次数，未知数的取值范围可能会扩大，有产生增根的可能。因此，最后必须进行验根 步骤：开始---去根号----解整式方程-----检验----是-----写出原方程的根 -----否-----舍去 【例题】 解方程： 答案： 解： 经检验 都是原方程的解。 【巩固练习】 （1） （2） 答案： （1） ，舍去； （2）舍去 【例题】 解方程（1） （2） 答案： （1）解：移项，得 ， 两边平方，得 ， 化简得 ， 两边平方，得 ， 解方程，得 ，。 检验：把代入原方程的左边，得， 与右边相等； 把代入原方程的左边，得，也与右边相等， 所以，都是原方程的根 （2）解：原方程可化为： 两边平方得： 整理得： 两边平方得： 整理得：，解得：或． 检验：把代入原方程，左边=右边，所以是原方程的根． 把代入原方程，左边右边，所以是增根． 所以，原方程的解是． 【巩固练习】 （1） （2） （3） （4） 答案： （1）；（2）；（3）；（4） 解特殊的无理方程（双平方；换元法） 两边平方化无理方程为有理方程是解无理方程的主要方法，而对于一些特殊的无理方程，需要通过两次平方或换元法才能把根号全部去掉。解无理方程时，因为平方而导致定义范围扩大，有可能产生增根，所以要注意验根。 【例题】 1、解方程 （换元法） 答案： 解：设，则 原方程可化为：， 即，解得：或． (1)当时，； (2)当时，因为，所以方程无解． 检验：把分别代入原方程，都适合． 所以，原方程的解是． 2、用换元法解方程x2-2x + 6 + 6 答案： 解：设 舍去 ∴t=9 ∴ 经检验：是原方程的根。 3、用换元法解方程x2 – 3x – 答案： 解：设 （舍去） ∴ 经检验都是原方程的根。 【巩固练习】 1、用换元法解方程 2x2 - 2、解方程: 2x2 + 3x - 5+ 3 = 0 3、用换元法解方程，设，则原方程可化为（ ） （A）（B）（C）（D） 4、解方程 答案： 1、 ； 2、 3、 B 4、 x=- 【回家作业】 1、方程的根是_____________ 2、解方程： （1） +=0. （2） 3、解下列方程. （1） （2） （3） （4）解方程组 +=7 =12 4、已知关于的方程有一个根是3，试解这个方程。 答案： 1、 x=-2 2、 （1）x=2；（2）x=4； 3、 （1）；（2）x=1；（3）x=23；（4） 4、 解析： 学科网（北京）股份有限公司 $$