第04讲 无理方程与二元二次方程组（6个知识点+7种题型+强化训练）-2023-2024学年八年级下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第04讲 无理方程与二元二次方程组（6个知识点+7种题型+强化训练） 知识导图 知识清单 知识点一、无理方程的概念和解法 1．无理方程的概念 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． 2．解无理方程的方法 通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解． 3．解无理方程的一般步骤 （1）方程两边平方，化成整式方程； （2）解这个整式方程，求出整式方程的根； （3）检验．直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解． 知识点二、无理方程的根的讨论 增根的概念 无理方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得无理方程左右两边不相等，那么这个解就是方程的增根. 知识点三、无理方程的应用 寻找题目中的等量关系，列方程，求解，根据实际情况进行取舍． 知识点四、二元二次方程 知识点五、二元二次方程组 知识点六、二元二次方程组的解法 (1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次. (2)题型一：解方程组即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组. 方法：代入消元法； 一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解. (3)题型二：解方程组（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式） 方法：因式分解法； 解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解. 知识复习 题型一：无理方程的概念 1．（2023下·上海静安·八年级统考期末）下列方程中，属于无理方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理方程的定义进行解答，根号内含有未知数的方程为无理方程． 【详解】A项的根号内没有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误， B项的根号内有未知数，所以是无理方程，故本选项正确， C项的根号内没有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误， D项的根号内不含有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查无理方程的定义，关键在于分析看看哪一项符合无理方程的定义． 题型二：不解方程，判断方程是否有实数根 2．（2021下·上海浦东新·八年级校考期中）下列方程有实数根的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质可以判断A；根据立方根的定义可判断B；根据解分式方程的方法和分式方程有意义的条件可以判断C；利用根的判别式可以判定D． 【详解】解：A、∵，∴方程没有实数根，故该选项不符合题意； B、∵，∴， ∴方程有实数根，故该选项符合题意； C、去分母得，， 检验当时，， ∴原方程无解， ∴方程没有实数根，故该选项不符合题意； D、∵， ∴方程没有的实数根，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查解方程，关键是要牢记各种方程的求解方法及根的判别式，一元二次方程有实数根的条件是，分式方程的分母不能为0，二次根式具有双重非负性． 题型三：解无理方程 3．（2023下·上海虹口·八年级上外附中校考期末）． 【答案】 【分析】方程两边平方去根号，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边平方，得， 整理得， 解得：或， 经检验是原方程的解，不是原方程的解， 即无理方程的解是． 【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 4．（2023下·上海宝山·八年级校考期中）解方程：． 【答案】原方程无解 【分析】先移项，再两边平方，再整理可得，从而可得原方程无解． 【详解】解：∵， ∴， 两边平方得：， 整理得：，而， ∴原方程无解． 【点睛】本题考查的是无理方程的解法，掌握解无理方程的方法与步骤是解本题的关键． 5．（2023下·上海虹口·八年级上外附中校考期末）． 【答案】 【分析】利用平方法将原方程通过变形转化为有理方程，然后计算求解． 【详解】解： 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【点睛】本题主要考查了平方法解无理方程，掌握完全平方公式是解题关键，另外注意无理方程的结果要进行检验． 题型四：无理方程的根的讨论 6．（2023下·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）如果关于x的方程没有实数根，那么m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把原方程化为，根据方程无解结合算术平方根的非负形可知，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的方程没有实数根， ∴， ∴， 故选D．