21.3 可化为一元二次的分式方程 学案 2023-2024学年沪教版（上海）八年级数学上册

可化为一元二次方程的分式方程 知识点一：分式方程 1. 定义：分母中含有未知数的方程 【例题】 下列关于x的方程中，是分式方程的有 （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6） 答案：（3）（4）（6） 知识点二：分式方程的解法 1、基本思想：通过“去分母”把分式方程转化为整式方程来解 2、解分式方程的一般步骤： （1）去分母（分母是多项式时，先分解因式，找出最简公分母） （2）解整式方程，求根。 （3）检验。a, 带入最简公分母，若最简公分母为0，则这个根为原方程的增根；若不为0，则为原方程的根。 b, 直接带入原方程，看其是否成立 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解． 3、解分式方程的方法：去分母、换元法等，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想． 1．去分母化分式方程为一元二次方程 解方程（1） ． （2） —=1+ 答案： （1）解：原方程可化为： 方程两边各项都乘以： 即， 整理得： 解得：或． 检验：把代入，不等于0，所以是原方程的解； 把代入，等于0，所以是增根． 所以，原方程的解是． （2）解：原方程变为： 方程两边同乘得： 解得 x=1 经检验x=1为方程的增根。 【巩固练习】 解方程：（1） （2） 答案： (舍去) （舍去） 2．用换元法化分式方程为一元二次方程 【例题】 1、解方程 2、解方程 ． 答案： 1、解：设，则原方程可化为： 解得或． (1)当时，，去分母，得； (2)当时，． 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，，都是原方程的解． 2、解：设，则 原方程可化为：． (1)当时，； (2)当时，． 检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，原方程的解是，，． 【巩固练习】 （1） （2） （3） 答案： （1）解：设 则 原方程变为： 解得 当时解得 当时解得 经检验都为原方程的根。所以原方程的根为， （2） ； （3） 舍去 3. 一元二次方程的增根情况 【例题】 1、已知关于的方程无解，求的值。 答案： 解：方程无解 也就是方程存在增根，即分母为0时的x的值为增根。 原方程化解为： 所以 当x=0时，k=6 当x=1时，k=3 当x=-1时，k=9 所以k的值为6或3或9. 【巩固练习】 1、关于x的方程 只有一个解，求a的值，并求出这个解。 2、分式方程只有一个解，求k的值。 答案： 1、a=-1时，x=2,x=0（舍去） a=2时，x=3,x=-1（舍去） a=-2时，x=1 2、 【回家作业】 1.下列方程中，属于分式方程的是( ) A、 B、 C、 D、 2.分式方程的解是( ) A、X=1 B、X=-1 C、X=2 D、X=-2 3.如果用换元法解方程，并设，那么原方程可化为（ ） A、 B、 C、 D、 4.分式方程的解为_____________ 5.若方程无解，则m=____________ 6.方程的整数解是____________ 7.解方程： 8.解方程： 9.解方程： 10、若关于x的方程与的解相等，求a的值 11、当m为何值时，关于x的分式方程没有实数根 答案： 1、 C 2、 A 3、 D 4、 x=1 5、 1 6、 x=2 7、 x=2 8、 x=-1,x=2 9、 x=2 10、 a= 11、 解析： 学科网（北京）股份有限公司 $$