18.2.1 第2课时 矩形的判定 课时练习 2023-2024学年 人教版八年级数学下册

第2课时　矩形的判定 【基础作业】 1.证明:有三个角是直角的四边形是矩形. 已知:如图,∠A=∠B=∠C=90°. 求证:四边形ABCD是矩形. 证明:∵∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°, ∴AD∥BC,AB∥DC(①), ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠B=90°, ∴四边形ABCD是矩形(②). 在证明过程中,依据①、②分别表示 ( ) A.①表示同旁内角互补,两直线平行;②表示对角线相等的平行四边形是矩形 B.①表示同旁内角互补,两直线平行;②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形 C.①表示两直线平行,同旁内角互补;②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形 D.①表示两直线平行,同旁内角互补;②表示对角线相等的平行四边形是矩形 2.在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且OA=1,要使平行四边形ABCD为矩形,则BD的长度是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AD∥BC,在不添加任何辅助线的前提下,要想四边形ABCD成为一个矩形,只需添加的一个条件是　 　.  4.如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,且∠1=∠2,求证:四边形ABCD是矩形. 5.如图,点M在▱ABCD的边AD上,BM=CM,请从以下三个选项①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4中选择一个合适的选项作为已知条件,使▱ABCD为矩形. (1)你添加的条件是　　　(填序号).  (2)添加条件后,请证明▱ABCD为矩形. 【巩固作业】 6.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,AD上的动点,P是线段EF的中点,PG⊥BC,PH⊥CD,G,H为垂足,连接GH.若AB=8,AD=6,EF=4,则GH的最小值是　 　.  7.如图,点M,O,N在同一直线上,OB,OC分别是∠AOM与∠AON的平分线,AB⊥OB,AC⊥OC,垂足分别为B,C,连接BC交AO于点E. (1)求证:四边形ACOB是矩形. (2)猜想BC与MN的位置关系,并证明你的结论. 【素养作业】 8.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至G,使EG=AE,连接CG. (1)求证:△ABE≌△CDF. (2)当线段AB与线段AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由. 参考答案 1.B　2.B　3.∠A=90°(答案不唯一) 4.证明:∵∠1=∠2, ∴OB=OC.∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB=OD,OC=OA, ∴AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形. 5.解:(1)①(选②也可以). (2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥DC,AB=DC,∴∠A+∠D=180°. 在△ABM和△DCM中, ∴△ABM≌△DCM(SAS),∴∠A=∠D, ∴∠A=∠D=90°,∴▱ABCD为矩形. (选②,先证△ABM≌△DCM(SSS),∴可先得∠A=∠D=90°) 6. 8 提示:如图,连接AC,AP,CP. ∵四边形ABCD是矩形, ∴BC=AD=6,∠BAD=∠B=∠C=90°, ∴AC===10. ∵P是线段EF的中点, ∴AP=EF=2. ∵PG⊥BC,PH⊥CD, ∴∠PGC=∠PHC=90°, ∴四边形PGCH是矩形, ∴GH=CP. 当A,P,C三点共线时,CP最小,最小值为AC-AP=10-2=8, ∴GH的最小值是8. 7.解:(1)证明:∵OB,OC分别是∠AOM与∠AON的平分线, ∴∠AOM=2∠AOB,∠AON=2∠AOC. ∵点M,O,N在同一直线上, ∴∠AOM+∠AON=180°, ∴2∠AOB+2∠AOC=180°, ∴∠AOB+∠AOC=90°, ∴∠BOC=90°. ∵AB⊥OB,AC⊥OC, ∴∠ABO=∠ACO=90°=∠BOC, ∴四边形ACOB是矩形. (2)BC∥MN. 证明:由(1)知,四边形ACOB是矩形, ∴OE=CE, ∴∠AOC=∠BCO. ∵OC是∠AON的平分线, ∴∠AOC=∠NOC, ∴∠BCO=∠NOC, ∴BC∥MN. 8.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD,OB=OD,OA=OC, ∴∠ABE=∠CDF. ∵E,F分别为OB,OD的中点, ∴BE=OB,DF=OD, ∴BE=DF. 在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(SAS). (2)当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形.理由如下: ∵AC=2OA,AC=2AB, ∴AB=OA. ∵E