与圆锥相关的体积-【培优计划·典型题专练】2023-2024学年六年级下册数学（北师大版）

六年级数学·下册 8 一、圆柱与圆锥 与圆锥相关的体积 典型例题 1 教材第一单元 居民小区的健身设施需要定期进行维护和修缮,李师傅运来一车沙子用来维护小区的 一个沙坑。这些沙子堆成了一个圆锥形,量得底面周长是12.56米,高是3米。沙坑 的长是10米,宽是6.28米,这些沙子能填多厚的沙坑? 名师点拨:此题为等积变形类型题。已知圆锥形沙堆的底面周长,根据圆的周长公式 C=2πr可求出圆锥形沙堆的底面半径,然后根据圆锥的体积公式V= 1 3πr 2h,代入数 据计算,求出这些沙子的体积。由于只是沙堆形状发生改变,总体积不变,所以沙坑中 沙子的体积就是圆锥形沙堆的沙子体积。根据长方体的体积公式V=abh,即可求出 长方体沙坑中沙子的厚度。 参考答案 12.56÷3.14÷2=2(米) 1 3×3.14×2 2×3=12.56(立方米) 12.56÷(10×6.28)=0.2(米) 答:这些沙子能填0.2米厚的沙坑。 举一反三 1 答案见 37 页 1.一辆货车的车厢是一个长方体,它的长是3米,宽是2米,高是30分米,装入30厘米 厚的沙子,卸下后沙子堆成一个高是0.9米的圆锥形,求这个圆锥形沙堆的底面积。 2.用一块底面半径3分米、高5分米的圆锥形钢材锻造一个高15分米的圆柱,圆柱的 底面积是多少? 六年级数学·下册 9 3.一个圆锥形碎石堆,底面周长18.84米、高6米,每立方米碎石约重2吨,如果用限 重4吨的货车去拉,至少需要拉几次? 典型例题 2 教材第一单元 将一个高是12厘米的圆锥形容器装满水,再把水全部倒进一个和它等底等高的圆柱 形容器里,水深( )厘米。 A.3 B.4 C.6 D.12 名师点拨:因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍,所以当圆锥和圆柱的体积 相等,底面积也相等时,圆柱的高是圆锥高的1 3 。 当圆柱与圆锥等体积等高时,V=S圆柱h= 1 3S圆锥h⇒S圆柱= 1 3S圆锥 。 当圆柱与圆锥等体积等底面积时,V=Sh圆柱= 1 3Sh圆锥⇒h圆柱= 1 3h圆锥 。 参考答案 B 举一反三 2 答案见 37 页 4.一个圆柱和一个圆锥,体积相等,底面积也相等,已知圆柱的高是15厘米,圆锥的高 是( )厘米。 A.15 B.45 C.5 D.30 5.等底等高的一个圆柱和一个圆锥,圆柱的体积比圆锥的体积多1.8立方厘米,圆柱 的体积是( ),圆锥的体积是( )。 6.有一块体积是753.6立方厘米的绿色橡皮泥,小雯用这块橡皮泥捏成了等底等高的 一个圆柱和一个圆锥。这个圆柱的体积是多少? 六年级数学·下册 10 典型例题 3 教材第一单元 将10毫升水装在一个圆锥形容器内,高度正好占 1 2 ,再添多少毫升水可以装满容器? 名师点拨:这个圆锥形容器中水的高度正好占1 2 ,也就是底面半径正好也占1 2 ,那么小 圆锥 的 底 面 积 就 是 大 圆 锥 底 面 积 的 1 2× 1 2 ,小 圆 锥 的 体 积 就 是 大 圆 锥 体 积 的 1 2× 1 2× 1 2 。 参考答案 1 2× 1 2× 1 2= 1 8 10÷ 1 8=80 (毫升) 80-10=70(毫升) 答:再添70毫升水可以装满容器。 举一反三 3 答案见 37 页 7.图中圆锥形容器的容积是16升,容器中已装有一些水,水面高度正好是圆锥高度的 一半,容器中装有水多少升? 8.如图所示,从一个圆柱中挖去一个圆锥,求剩余部分的体积。(单位:厘米) 六年级数学·下册 37 与圆锥相关的体积 1.30厘米=0.3米 3×2×0.3×3÷0.9=6(平方米) 答:这个圆锥形沙堆的底面积是6平方米。 解析：这是一道等积变形问题。用长方体货 车车厢装的沙子堆成一个圆锥,因为沙子的 体积不变,所以原来长方体的体积等于现在 圆锥的体积。先求长方体的体积,再求圆锥 的底面积。 2. 1 3×3.14×3 2×5=47.1(立方分米) 47.1÷15=3.14(平方分米) 答:圆柱的底面积是3.14平方分米。 3.18.84÷3.14÷2=3(米) 1 3×3.14×3 2×6×2=113.04(吨) 113.04÷4≈29(次) 答:至少需要拉29次。 4.B 5.2.7立方厘米 0.9立方厘米 6.解:设圆锥的体积是x 立方厘米,则圆 柱的体积是3x 立方厘米。 3x+x=753.6 x=188.4 188.4×3=565.2(立方厘米) 答:这个圆柱的体积是565.2立方厘米。 解析：等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的 3倍,设圆锥的体积是x 立方厘米,则圆柱的 体积是3x 立方厘米。根据题中给出的信 息,可得等量关系:圆柱的体积+圆