第24章 定点定长构造辅助圆 【微专题】 2022-2023学年人教版九年级数学上册

专题24 定点定长构造辅助圆 1．如图，已知，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，则的大小是　　 A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为　　 A．2 B． C．3 D． 4．如图，正方形中，为中点，，，交于，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．如图，已知等边的边长为8，以为直径的圆交于点．以为圆心，长为半径作图，是上一动点，为的中点，当最大时，的长为　　 A． B． C． D．12 6．如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，的最大值为 　　． 7．如图，四边形中，，且，若，则　 　，　 　． 8．如图所示，，，则　　． 9．如图，四边形中，、分别是，的中垂线，，，则　　，　　． 10．如图，，如果是的倍，那么是的 　　倍． 11．如图，矩形中，，，是直线上的一个动点，，沿翻折形成，连接、，则的最小值是 　　，点到线段的最短距离是 　　． 12．如图，在中，，过点作，，连接交于点．是的中点，连接交于． （1）若，求的度数； （2）若，且，求四边形的面积． 13．如图，，，，求的度数． 14．圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形． （1）已知：如图1，，请利用圆规画出过、．三点的圆．若，则　　． 如图，中，，，． （2）已知，如图2．点为边的中点，将沿方向平移2个单位长度，点、、的对应点分别为点、、，求四边形的面积和的大小． （3）如图3，将边沿方向平移个单位至，是否存在这样的，使得直线上有一点，满足且此时四边形的面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值及平移距离，若不存在，说明理由． 15．在中，，，、分别平分和，求证：． 16．如图，在中，，垂直平分，且，连接 （1）求证：； （2）设交于点，若是等腰三角形，求的度数． 17．【阅读】 辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁．在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽． 性质：如图①，若，则点在经过，，三点的圆上． 【问题解决】 运用上述材料中的信息解决以下问题： （1）如图②，已知． 求证：． （2）如图③，点，位于直线两侧．用尺规在直线上作出点，使得．（要求：要有画图痕迹，不用写画法） （3）如图④，在四边形中，，，点在的延长线上，连接，． 求证：是外接圆的切线． 18．在中，，，，分别是边，的中点，若等腰绕点逆时针旋转，得到等腰△，设旋转角为，记直线与的交点为． （1）如图1，当时，线段的长等于　　，线段的长等于　　；（直接填写结果） （2）如图2，当时，求证：，且； （3）求点到所在直线的距离的最大值．（直接写出结果） 19．如图，在 中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，求点到边距离的最小值． 20．如图，中，，，过点任作一条直线，将线段沿直线翻折得线段，直线交直线于点． （1）小智同学通过思考推得当点在上方时，的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程： ， 、、三点在以为圆心以为半径的圆上． 　　　　． （2）若，求的长． （3）线段最大值为 　　；若取的中点，则线段的最小值为 　　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24 定点定长构造辅助圆 1．如图，已知，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图，， 点、、在以点为圆心， 以的长为半径的圆上； ， ，， ，而， ， 故选：． 2．如图，在四边形中，，则的大小是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由，，则可添加辅助圆， 有， 故选：． 3．如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为　　 A．2 B． C．3 D． 【解答】解：连接， 点和关于对称， ， 在以圆心，3为半径的圆上， 当，，三点共线时，最短， ，， ， 故选：． 4．如图，正方形中，为中点，，，交于，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图，连接、． ，， ， ， ， 是等边三角形， ， 点是的外接圆的圆心， ， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ． 解法二：连接．易知， 故选：． 5．如图，已知等边的边长为8，以为直径的圆交于点．以为圆心，长为半径作图，是上一动点，为的中点，当最大时，的长为　　 A． B． C． D．12 【解答】解：点在上运动时，点在以为圆心的圆上运动，要使最大，则过，连接， 是等边三角形，是直径， ， 是的中点， 为的中点， 为的中位线， ， ， ，， 故， 故选：． 二．填空题（共6小题） 6．如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，