6.2.1向量的加法运算课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.1 向量的加法运算 人教2019A版必修 第二册 问题1 两个向量相加就是两个向量的模相加吗? 提示 不是,向量相加要考虑大小及方向,而模相加是数量的加法. 问题2 如图,某质点从点A经过点B到点C,这个质点的位移如何表示? 三角形 注意点: 运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接,再首尾连”. 4 例1 如图所示, (1)a+b= ; (2)c+d= ; (3)a+b+d= ; (4)c+d+e= . c f f g 5 6 问题5 四边形ABCD的形状如何? 提示 平行四边形. 提示 相等. 1.以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作 OACB,则以O为起点的向量 (OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 法则. 平行四边形 2.从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的. 3.对于零向量与任意向量a,规定a+0=0+a=a. 注意点: 运用向量加法的平行四边形法则作图时,要强调两个向量起点相同. 9 (2)如图②所示,求作向量a+b+c. 10 方法一 (三角形法则)如图④所示, 方法二 (平行四边形法则)如图⑤所示, 11 以OA,OB为邻边作 OADB,连接OD, 再以OD,OC为邻边作 ODEC,连接OE, 12 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时,三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 13 问题6 请结合课本例1,探索一下|a+b|与|a|,|b|之间的关系? 提示 (1)当向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b方向不同,且|a+b|< |a|+|b|. (2)当a与b同向时,a+b,a,b同向,且|a+b|=|a|+|b|. (3)当a与b反向时,若|a|>|b|,则a+b的方向与a相同,且|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a+b的方向与b相同,且|a+b|=|b|-|a|. 问题7 我们知道实数的加法满足交换律与结合律,向量的加法是否也满足交换律和结合律呢?你能证明自己的猜想吗? 如图2,不难证明满足结合律. 1.一般地,我们有|a+b|≤ ,当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是方向相同的非零向量时,等号成立. 2.(加法交换律)a+b= ; (加法结合律)a+(b+c)= . |a|+|b| b+a (a+b)+c 16 例3 (1)已知a,b均为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法中正确的是 A.a∥b,且a与b的方向相同 B.a,b是方向相反的向量 C.|a|=|b|,且a与b的方向相反 D.a,b无论什么关系均可 因为|a+b|≤|a|+|b|(当且仅当a与b方向相同时取等号). √ 17 (2)化简: 18 19 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义:向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现了恰当利用向量加法法则运算的目的. (2)应用原则:通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 20 21 设a,b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度, 以OA,OB为邻边作矩形OACB,连接OC,如图, ∴∠AOC=60 , ∴小船的实际航行速度的大小为20 km/h,沿北偏东30 的方向航行. 22 延伸探究 在静水中船的速度的大小为20 m/min,水流的速度的大小为10 m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向. 23 作出图形,如图所示.船速v船与岸的方向成角 ,由图可知v水+v船=v实际,结合已知条件, 从而船与水流方向成120 的角. 所以船是沿与水流的方向成120 角的方向行进. 24 应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示:用向量表示有关量,将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算:应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则,将有关向量进行运算,解答向量问题. (3)还原:根据向量的运算结果,结合向量共线、相等等概念回答原问题. 25 跟踪训练4 如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150 ,∠BCW=120 ,求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计) 26 由题意可得∠ECG=180 -150 =30 , ∠FCG=180 -120 =60 . 27 1.知识清单: (1)向量加法的三角形法则. (2)向量加法的平行四边形法则. (3)向量三角不等式. (4)向量加法的运算律. 2.方法归纳:数形结合法. 3.常见误区:向量加法的三角形法则要注意向量首尾