2023-2024学年北师大版八年级数学下册 第2讲 线段的垂直平分线、角平分线的应用

八年级 春季第2讲《线段的垂直平分线、角平分线的应用》 1、 知识点分析 1、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质定理及逆定理 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 证明方法：一、证两点都在垂直平分线上 二、既是垂直又是平分 （2）三角形三边的垂直平分线的性质定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 注意：锐角三角形，交点在三角形内：直角三角形，交点在斜边中点：钝角三角形交点在三角形外 （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 2、角平分线 （1）角平分线的性质定理及逆定理 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 逆定理：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 证明书写时：一定强调垂直。 （2）三角形三条角平分线的性质定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 注意：锐，直，钝三角形，交点都在三角形内部。 （3） 如何用尺规作图法作出角平分线 （4） 常考的角平分线模型 2、 考点分析 【考点一】 线段的垂直平分线性质和判定 【例1】如图所示，AC垂直平分线段BD，若AB＝3cm，CD＝5cm， 则四边形ABCD的周长是（　　） A．11cm B．13cm C．16cm D．18cm 【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E， 交BC于点F，连接AF，求∠AFC的度数． 变式练习： 1．到三角形的三个顶点距离相等的点是（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是AC的垂直平分线， 交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝20°，则∠C的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．50° 3． 如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若△EBC的周长为11， AD＝4，则△ABC的周长为　 　． 【考点二】 角平分线的性质与判定 【例3】已知如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 【例4】证明：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 已知：如图：∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E． 求证：　 　＝　 　 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠　 　＝∠　 　＝90° 在△PDO和△PEO中， ∴△PDO≌△PEO（　 　） ∴PD＝PE （　 　 ） 变式练习： 1． 如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E． 已知PE＝5，则点P到AB的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论： ①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE； 其中正确的是（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点三 】 与面积有关的角平分线问题 【例5】△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC于E、F．且BE=EO． （1）说明OF与CF的大小关系； （2）若BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积． 变式练习： 1.△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB， OD⊥BC于，且OD=4，△ABC的面积是（　　） A．25 B．84 C．42 D．21 2． 如图，△ABC中，AD是角平分线，BE是△ABD中的中线， 若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是（　　） A．15 B．12 C．7.5 D．6 3．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=　 　． 【考点四】 尺规作图相关问题 【例6】已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形． （要求：写作法，用尺规作图，保留作图痕迹）． 课堂练习 1．在△ABC中，∠BAC=115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为（　　） A．50° B．40° C．30° D．25° 2.如图