1.1～1.2《等腰、直角三角形的应用》讲义 2023-2024学年北师大版八年级数学下册

八年级 春季第1讲《等腰、直角三角形的应用》 1、 知识框架 二、知识分析 性质 判定 图示 全等三角形 全等三角形对应的边相等，对应的角相等。 SSS SAS ASA AAS HL 等腰三角形 1. 等边对等角 2. 三线合一 等角对等边 等边三角形 1. 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°2.等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 1. 三个角都相等的三角形是等边三角形。 2. 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 直角三角形 1. 两个锐角互余 2. 勾股定理 3. 30度所对的直角边等于斜边的一半  勾股定理的逆定理 反证法 先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法叫做反证法。 互逆命题、 互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 【考点一】等腰三角形的性质和判定 【例1】如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数. 　　 【例2】在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE， CF交于点D，∠ABE＝∠ACF． （1）求证：△BCD是等腰三角形． （2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数． 【变式练习】 1．等腰三角形的三边长分别为3x﹣2，4x﹣3，6﹣2x，则该三角形的周长为（　　 ） A．6 B．6或9或8.5 C．9或8.5 D．与x的取值有关 2.在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角是 。 3. 如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F． 当EF＝6，BE＝4时，CF的长为　 　． 【考点二】等边三角形的性质和判定 【例3】如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M， PN⊥AC于点N． （1）求证：△PMN是等边三角形； （2）若AB＝12cm，求CM的长． 【变式练习】 1. 在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 2. 等边△ABC中，BC＝2，则△ABC的面积为　 ． 【考点三】反证法 【例4】写出“反证法”证明下列命题的第一步”假设” （1）互补的两个角不能都大于90°：假设　 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　； （2）在△ABC中，至少有两个内角是锐角，假设　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　； （3）等腰三角形的底角必为锐角，假设　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．　　 （4）用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【考点四】直角三角形的性质和判定 【例5】如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD， DM⊥BC，垂足为M， （1）求证：M是BE的中点． （2）若CD＝1，DE＝，求△ABD的周长． 【变式练习】 1. 如图，BC⊥AC，BD⊥AD，且BC=BD，则利用（　　）可说明三角形全等． A．SAS 　　B．AAS 　　　 C．SSA 　　　　 D．HL 2. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上， PM＝PN，若MN＝2，则OM是（　　　） A．3 　　　　 　B．4 　　 　　C．5 　 　　D．6 3.如图，在△ABC中已知∠B：∠A：∠C＝1：2：3，AB＝10m． （1）求证：△ABC为直角三角形． （2）求AB边上的中线长． 专题★三角形中常见的动点问题 【例6】如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求△ABP的周长． （2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？ 【变式练习】如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4．直线l上有一点C在点P右侧，PC＝4cm，过点C作射线CD⊥l， 点F为射线CD上的一个动点，连结AF．当△AFC与△ABQ全等时，AQ＝　 cm． 4、 课后巩固 1．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设（