第二十章一次函数第一节一次函数的概念 讲义2023-2024学年 沪教版（上海）八年级数学第二学期

一次函数的概念 知识点一：一次函数的概念 （1）一般地，解析式形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数； （2）一次函数的定义域为一切实数 （3）一次函数与正比例函数的关系：正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数；即当时，即； （4）当时，它是常值函数，即形如y=c（c为常数）的形式，如常值函数y=2表示不论x的值怎样变化，函数值y总是2． 【例题】 1、下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 答案： 一次函数：（1）（2）（3）（4）（5） 正比例函数：（2） 2、 已知函数 （为常数）是正比例函数，则 ． 答案：k=-2 解析：由题意知，|k|-1=1,k-2≠0，解得k=-2 3、 已知常值函数，则 ． 答案：-3 4、已知是一次函数，求它的解析式． 解析：由题意知，|m|-1=1,m-2≠0，解得m=-2 【巩固练习】 1、 若y=（m-2）x|m-1|+m是一次函数，求= . 2、 函数在　　　　　条件下，是的一次函数；在　　　　　条件下，与成正比例函数． 3、已知 . . 4、已知函数，（1）当取何值时，是的一次函数？（2）当取何值时，是的正比例函数？（3）当取何值时，是的常值函数？ 5、已知函数．求： ①为何值时，这是个常值函数． ②为何值时，一次函数的图象与轴交于点． 答案： 1、 m=0 2、 m=-1, m=-1,n=0 3、 -, 4、 (1)m≠-1，（2）m=1，（3）m=-1 5、 ①a=2，②a=± 知识点二：待定系数法求一次函数的解析式 待定系数法：先设待求函数的解析式，再根据条件求出未知函数，从而得到所求结果得方法，叫做待定系数法，其中未知数系数也称待定系数. 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤： （1） 设函数关系式：； （2） 将已知点的坐标代入函数关系式，解方程（组）； （3） 求出，得到函数解析式. 【例题】 1、已知直线经过点，求关于的函数解析式. 解析：由题意知， 2、已知一个一次函数，当自变量x=2时，函数值y=1；当x=-1时，y=-3.求这个函数的解析式。 解析： 【巩固练习】 1、 已知一次函数的图象经过（3，2）和（1，-2）两点．求这个一次函数的解析式． 2、 已知等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是12cm，写出y 与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围。 3、已知一次函数与正比例函数及分别交于横坐标是2和-2的点，求这个一次函数的关系式。 答案： 1、 解析： 2、 解析： 3、 ∵等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是12cm， 3、解析： 20.2 一次函数的图像 知识点一：一次函数的图像 （1）一次函数（，，为常数）的图象是一条直线． （2）一次函数图像的画法（描点作图法） 画一次函数的图像可通过“列表、描点、连线”获得。也可由“两点确定一条直线”，找出函数图像上的两点连线即可。 ①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点． （3）直线的截距 一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距。一般地，直线（）与y轴的交点坐标是（0,b）。直线（）的截距是b.（注意：截距与距离是两个完全不一样的概念，截距可以是任意实数，而距离总是非负数） （4）通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线． 【例题】 （1）在直角坐标系中画出直线y=x-3，并求出它的截距； （2）写出直线y=x-3与y轴的交点A的坐标，并求出点A和原点O的距离。 答案： （1）b=-3； （2）A（0，-3），OA=3 知识点二：两条直线的位置关系（平行） （5）两直线垂直：即 【例题】 1、在坐标系中画出下列函数的图象． ⑴；y=2x+2；y=2x-2；⑵；； 并根据图像回答：；y=2x+2和 y=2x-2是怎样由y=2x得到的？ 一次函数y=kx+b的图象可由正比例函数y=kx的图象平移得到，当>0时，向上平移b个单位；当b<0时，向下平移个单位。 2、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数，，，的图像分别是，，，；那么，，，的大小关系是 ． 发现：越大，越接近于轴；越小，越接近于轴．在各个象限的增大境况如右图所示． 3、已知两个一次函数y1=-x-4和y2=. （1）当a、b为何值时，两函数的图