2024年中考数学一轮复习考点课件：与圆有关的位置关系

与圆有关的位置关系 与圆有关的位置关系 考点一　与圆有关的位置关系 典例1 已知☉O的半径为5，直线l与☉O有2个公共点，则点O到直线l的距离可能是（　A　） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 典例2 （2023·安庆怀宁一模）在平面直角坐标系中，☉O的圆心O为坐标原点，半径为5，点P的坐标为（3，4），则点P在 　圆上　⁠（填“圆内”“圆外”或“圆上”）. A 圆上 典例3 如图，∠AOB＝30°，M为边OB上任意一点，以点M为圆心，2cm为半径作☉M，当OM＝ 　4　⁠cm时，☉M与OA相切. 典例3图 4 考点二　切线的性质 典例4 （2023·池州东至一模）如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上的点，∠CDB＝20°，过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E，则∠E的度数为（　B　） 典例4图 A. 70° B. 50° C. 40° D. 20° B 典例5 如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F，BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E. 典例5图 （1） 求证：△CBA≌△DAB. 解：（1） ∵ AB是半圆O的直径，∴ ∠ACB＝∠D＝90°.在Rt△CBA和Rt△DAB中，∵ ∴ Rt△CBA≌Rt△DAB. （2） 若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB. 解：（2） 由（1），知∠ACB＝90，∴ BC⊥EF.又∵ BE＝BF，∴ ∠E＝∠BFE.∵ BE是半圆O所在圆的切线， ∴ ∠ABE＝90°.∴ ∠BAE＝90°－∠E.由（1），知∠D＝90°，∴ ∠DAF＝90°－∠AFD.∵ ∠AFD＝∠BFE， ∴ ∠AFD＝∠E.∴ ∠DAF＝∠BAF.∴ AC平分∠DAB. 典例6 （2022·安徽）已知AB为☉O的直径，C为☉O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD. 　　 典例6图 （1） 如图①，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长. 解：（1） ∵ OA＝1＝OC，CO⊥AB，∠D＝30°，∴ OD＝·OC＝.∴ AD＝OD－OA＝－1. （2） 如图②，若DC与☉O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE.求证：CE⊥AB. 解：（2） ∵ DC与☉O相切，∴ OC⊥CD，即∠ACD＋∠OCA＝90°. ∵ OA＝OC，∴ ∠OCA＝∠OAC.∵ ∠ACD＝∠ACE，∴ ∠OAC＋∠ACE＝90°.∴ ∠AEC＝90°，即CE⊥AB. 考点三　切线的判定 典例7 如图，AB是☉O的直径，D是☉O上一点，且∠A＝∠CDB＝∠COB.求证：CB是☉O的切线. 解：如图，连接OD.∵ AB是☉O的直径，∴ ∠ADB＝90°.∴ ∠ADO＋∠ODB＝90°.∵ OA＝OD，∴ ∠A＝∠ODA.∵ ∠A＝∠CDB， ∴ ∠CDB＋∠ODB＝90°，即∠ODC＝90°.∵ ∠A＝∠COB， ∴ AD∥OC.∴ ∠ODA＝∠DOC.∴ ∠BOC＝∠DOC.又∵ OB＝OD，OC＝OC，∴ △CBO≌△CDO.∴ ∠OBC＝∠ODC＝90°.∵ OB是☉O的半径，∴ CB是☉O的切线. 典例7图答案 [方法归纳] 判定圆的切线的常见思路 （1） 若已知直线与圆的公共点，则连接这个公共点和圆心，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为有切点，连半径，证垂直. （2） 若未知直线与圆的公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为无切点，作垂线，证相等. 考点四　切线的性质与判定的综合应用 典例8 （2023·安庆迎江二模）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO，交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD.　 （1） 若∠AOD＝60°，则∠CBD＝ 　30°　⁠. 30° （2） 求证：AB为☉O的切线. 解：（2） 如图，过点O作OE⊥AB于点E.∵ AD⊥BD，BC与☉O相切，∴ ∠D＝∠ACB＝90°.∵ ∠BOC＝∠AOD，∠AOD＝∠BAD，∴ ∠BAD＝∠COB.∴ ∠ABD＝∠CBD，即BD是∠ABC的平分线.又∵ OC⊥BC，OE⊥AB，∴ OC＝OE.∵ OC是半径，∴ 点O到AB的距离OE等于半径.∴ AB是☉O的切线. 典例8图答案 （3） 若AC＝8，tan∠BAC＝，求OD的长. 解：（3） ∵ AC＝8，tan∠BAC＝＝，∴ BC＝6.在Rt△AOE中，由tan∠EAO＝＝，可设OE＝3k，AE＝4k.∴ OA＝＝5k.∴ AC＝OA＋OC＝8＝5k＋3k，解得k＝1.∴ OC＝3，OA＝5.∴ 在Rt△BOC中，OB＝＝3.∵ ∠ADO＝∠BCO＝90°，∠AOD＝∠BOC，∴ △AOD∽△BOC