7.3 组合（九大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

7．3组合 课程标准 学习目标 （1）能通过实例，用自己的语言解释组合的定义；能用定义判断是不是组合问题，发展数学抽象素养． （2）能从组合的定义出发，利用排列与组合的关系推导组合数公式，并能用组合数公式解决有关计数问题． （3）能综合应用组合的概念和公式解决简单的实际问题． （1）了解组合及组合数的概念. （2）能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题． 知识点01 组合 1、定义： 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 知识点诠释： （1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关． 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别． （2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或末被取到． 【即学即练1】（2024·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 知识点02 组合数及其公式 1、组合数的定义： 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作． 知识点诠释： “组合”与“组合数”是两个不同的概念： 一个组合是指“从个不同的元素中取出个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数”，它是一个数． 2、组合数公式： （1）（，且） （2）（，且） 知识点诠释： 上面第一个公式一般用于计算，但当数值m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式． 【即学即练2】（2024·山东潍坊·高二统考期末）（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 知识点03 组合数的性质 性质1：（，且） 性质2：（，且） 知识点诠释： 规定：． 【即学即练3】（2024·福建宁德·高二统考期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点04 组合问题常见题型 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型： 解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． （3）分堆问题 ①平均分堆，其分法数为：． ②分堆但不平均，其分法数为． （4）定序问题． 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列． （5）相同元素分组问题用“隔板法” 【即学即练4】（2024·江西萍乡·高二统考期末）将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有 种．（用数字作答） 题型一：组合概念的理解 【典例1-1】（多选题）（2024·高二单元测试）下列是组合问题的是（    ） A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？ C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？ D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？ 【典例1-2】（多选题）（2024·全国·高二专题练习）下面问题中，是组合问题的是（    ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合 【变式1-1】（多选题）（2024·高二课前预习）给出下面几个问题，其中是组合问题的有（    ） A．由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数 B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数 C．由1，2，3组成两位数的不同方法数 D．由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数 【变式1-2】（2024·山西晋中·高二校考期末）下列问题中不是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（