6.3余弦定理（第3课时）（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

第 6 章 三角 2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 6.3余弦定理（第3课时） 学习目标 1.掌握余弦定理的证明方法，牢记余弦定理公式. 2.能够从余弦定理得到它的推论. 3.能够应用余弦定理及其推论解三角形. 余弦定理 ： 在 △ ABC 中 ， 设角 A、 B及 C所对边的边长分别为 a 、 b及 c， 则有 知识回顾 余弦定理 也可以表示成如下形式 ： 例 ７　 在 △ ABC中 ， 已知 求证 ： △ ABC 为等边三角形 证明 　 记 △ ABC外接圆的半径为 R，得 即 ｃｏｓ B＝ｃｏｓC 又由 B 、 C ∈ （ ０ ， π ）， 得 B＝ C ， 从而 b ＝c ． 再由 从而 a ＝ b． 所以 ， △ ABC为等边三角形 ． 新课讲解 得， 例 ８　 在 △ ABC 中 ， 已知 a＝５ ， b ＝４ ， 且三角形面积S＝８． 求 c ． 为了表示例 ８ 中的角 C， 我们引入如下记号 一般地 ， 我们用 ａｒｃｓｉｎ a表示满足 ｓｉｎ x ＝ a（ ０≤ a ≤１ ） 的角 例 ９　 根据下列条件 ， 分别求角 x ： （ ３ ） 设锐角 α 满足 ｔａｎ α ＝３ ， 就有 α ＝ａｒｃｔａｎ３． 因为 ｔａｎ （ － α ）＝－ｔａｎ α ＝－３ ， 所以原式等价于求解 ｔａｎ x ＝ｔａｎ （ － α ）， 从而有x ＝ k π＋ （ －ａｒｃｔａｎ３ ）， k∈Z． 所以 x＝π－ａｒｃｔａｎ３． 练习 ６． ３ （ ３ ） １． 在 △ ABC中 ， 已知 a＝４ ， B＝６０° ， 其面积为 ５ ． 求 b 课本练习 ２． 证明 ： 平行四边形中 ， 四边平方和等于对角线平方和 ． 证明：设平行四边形为 ABCD,以A为原点，AB所在直线为x轴,建立直角坐标系.设B(a,0)，D(m,n),则C(m+a，n).于是 ３． 在 △ ABC 中 ， 求证 ： ４． 分别求满足下列条件的角 ． 1.“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，会议期间达成了多项国际合作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的三点进行测量.已知，，于处测得水深，于处测得水深，于处测得水深，则. 解：如图所示，作交于，交于，作交于.由题中所给数据得，，. 随堂检测 1.“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，会议期间达成了多项国际合作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的三点进行测量.已知，，于处测得水深，于处测得水深，于处测得水深，则. 解：在中，由余弦定理的推论， 得. 2. 在△ABC中，已知 解这个三角形. 3. 在△ABC中，已知b=5，c=2，锐角A满足 求C (精确到1°). 4.如图，两点都在河的对岸(不可到达).若在河岸选取相距20米的两点，测得，，，那么此时两点间的距离是多少？ 解：由正弦定理得：米)，米). 在中，由余弦定理得， . ∴两点间的距离是. 19 20 课堂小结: 1.余弦定理： 2. 余弦定理的推论： 3. 用余弦定理可以解决两种解三角形的题型： (1) 已知三边解三角形． (2) 已知两边及一角解三角形． 5.△ABC的三个角A，B，C所对边a，b，c，若(a－c)(a＋c)＝b(b－c). (1)求角A的大小； (2)若b＋c＝2a＝2 eq \r(3)，试判断△ABC的形状． 解：(1)∵(a－c)(a＋c)＝b(b－c) ∴a2－c2＝b2－bc，即b2＋c2－a2＝bc ∴cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝ eq \f(bc,2bc)＝ eq \f(1,2) ∵0°＜A＜180° ∴A＝60° 解：(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A，且a＝ eq \r(3)， ∴( eq \r(3))2＝b2＋c2－2bc× eq \f(1,2)＝b2＋c2－bc.① 又∵b＋c＝2 eq \r(3)，与①联立，解得bc＝3， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＋c＝2\r(3)，,bc＝3，))∴b＝c＝ eq \r(3)， 于是a＝b＝c＝ eq \r(3)，即△ABC为等边三角形． 5.△ABC的三个角A，B，C所对边a，b，c，若(a－c)(a＋c)＝b(b－c). (1)求角A的大小；