2023 年 九年级中考数学复习3：分式与二次根式 讲义

中考数学复习3：分式与二次根式 知识集结 知识元 分式 知识讲解 分式的概念及性质 1.分式的定义 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母. 2.与分式有关的条件 (1)分式有意义：分母不为0（B≠0） (2)分式无意义：分母为0（B=0） (3)分式值为0：分子为0且分母不为0 (4)分式值为正或大于0：分子分母同号 (5)分式值为负或小于0：分子分母异号 (6)分式值为1：分子分母值相等（A=B） (7)分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 3.分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变，即. 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0. 4.分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式. 【注意】 ①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂. ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分. 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式. 5.分式的通分 (1)分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分. (2)分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定. 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母. 确定最简公分母的一般步骤： ①取各分母系数的最小公倍数； ②单独出现的字母（或含有字母的式子）连同它的指数作为一个因式； ③相同字母（或含有字母的式子）取指数最大的. ④保证凡出现的字母（或含有字母的式子）都要取. 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解. 分式的运算 1.分式的加减法则： (1)同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减 (2)异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减. (3)整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分. 2.分式的乘除法法则： (1)分式乘分式：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 式子表示为： (2)分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 式子表示为 3.分式的乘方与整数指数幂： （1）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方. （2）整数指数幂的运算性质： aman＝am+n (m，n都是整数) (am)n＝amn(m，n都是整数) (a b)m＝ambm(m，n都是整数) am ÷ an＝am－n (a不等于0，m，n都是正整数) a0＝1(a不等于0） (a不等于0，p是正整数） （3）乘法公式： （a+b）(a-b)= a2 -b2 （a+b）2= a2 +2ab+b2 （a-b）2= a2 -2ab+b2 4.分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算和化简 运算法则：先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活计算，提高解题质量. 【注意】在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因.运算后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）. 例题精讲 分式 例1. 化简（a-）÷的结果是（　） A．a-b B．a+b C． D． 例2. 化简：-=（　） A．a-1 B．a+1 C． D． 例3. 先化简，再求值（-）÷，其中a满足a2+3a-2=0． 例4. 先化简，再选一个合适的数代入求值：（-）÷（-1）． 例5. 先化简，再求值：（-1）÷，其中x=y+2019． 例6. 先化简，再求值：（a-9+）÷（a-1-），其中a=． 例7. 要使分式有意义，则x的取值范围是______． 二次根式 知识讲解 二次根式 1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． 注：根指数必须是2. 2.二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；被开方数可以是数，也可以是代数式. 3.被开方数为正或0时，其平方根为实数. 二次根式的乘除 1.二次根式的性质与化简： (1)(a≥0)是一个非负数，即≥0； (2)非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)； (3)某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a| (4)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，