5.2.1等差数列（一）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

5.2.1等差数列（一） 得到数列：6 000,6 500,7 000,7 500,8 000,8 500,9 000. 你发现这个数列有什么特点？请进入本节的学习！ 1. 理解等差数列的定义，掌握并会推导等差数列的通项公式；（重点） 2. 能运用等差数列的通项公式解决一些简单问题；（难点） 3. 理解等差数列通项公式与一次函数的关系. 问题1：观察下列现实生活中的数列，你能写出它们的递推公式吗？ （1）我国有用十二生肖纪年的习惯，例如.2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017 ，2029， 2041，2053，2065 ，2077，… ① （2）我国确定鞋号的脚长使用毫米来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，… ② （3）2019年1月中，每个星期日的日期为6，13 ，20， 27 . ③ 探究点1：等差数列的定义 （1）2017 ，2029， 2041，2053，2065 ，2077，… ① （2）275，270，265，260，255，250，…； ② （3）6，13 ，20， 27 . ③ 【提示】将数列①②③分别记作，，，则 问题2：观察这几个数列的递推公式有什么共同特征？ 【提示】它们后一项与前一项的差都为同一个常数. 等差数列 一般地，如果数列{}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，即 恒成立，则称{}为等差数列，其中称为等差数列的公差. 等差数列的概念 例如：数列① 2017 ，2029， 2041，2053，2065 ，2077，…的公差是12； 数列② 275，270，265，260，255，250，…的公差是-5； 数列③ 6，13 ，20， 27 .的公差是7. 例1.判断以下数列是否是等差数列？如果是，指出公差；如果不是，说明理由. （1）7，13，19，25，31；（2）2，4，7，11； （3）-1，-3，-5，-7. 【解析】(1)因为 所以是等差数列，且公差为6. (2)因为,,即 所以不是等差数列. (3)因为 所以是等差数列，且公差为. 思考1：当公差时，是什么数列？ 提示：是常数列，仍是等差数列. 思考2：如果说“一个数列从第2项起,相邻两项的差是同一个常数”,那么这个数列是等差数列吗? 提示：这个数列不一定是等差数列,等差数列中的“差”是有顺序的,必须是“从第2项起,每一项与前一项的差”.而“相邻两项的差”,这里的“相邻”可能是后一项减去前一项,也可能是前一项减去后一项,如数列2,1,2,3,4,5相邻两项的差是同一个常数1,但此数列不是等差数列. 探究点2：等差数列的通项公式 问题1：你能根据等差数列的特征写出探究1中数列①②③的通项公式吗？ 2017 ，2029， 2041，2053，2065 ，2077，… ① 【提示】设数列①为，因为是等差数列，公差为12，则 …… 即 （2）275，270，265，260，255，250，…； ② （3）6，13 ，20， 27 . ③ 类似地，数列②的通项公式为： 同理，数列③的通项公式为： 问题2：如果等差数列的首项为,公差为，那么它的通项公式是怎样的？ 【提示】一般地，如果等差数列的首项为公差为那么根据等差数列的定义有 即,从而 …… 由此可归纳出等差数列的通项公式为 归纳法 另外，由等差数列的定义可得 = ， = ， …… = ， = ， 将这个式子两边分别相加，则有 即等差数列的通项公式为 累加法 ， 等差数列的通项公式 一般地,若等差数列{}的首项为,公差为，则通项公式为： （） 等差数列通项公式的关注点 (1)已知等差数列的首项和公差可以求得这个数列的任何一项. (2)在等差数列中，已知四个量（， ）中的三个可以求得另一个. 例 2.已知等差数列10，7，4，…， （1）求这个数列的第10项； （2） -56是不是这个数列中的项？-40呢？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由. 【解析】(1)记数列，则由题意知， ，， 因此数列的通项公式为 当时，有 因此第10项为. (2)设-56是数列中的第 项， 解得，