专题3.2 解题技巧专题：特殊的因式分解法之五大考点-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提优训练（湘教版）

专题3.2 解题技巧专题：特殊的因式分解法之五大考点 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用整体法提公因式因式分解】 1 【考点二 因式分解要彻底分解】 3 【考点三 十字相乘法因式分解】 7 【考点四 分组分解法因式分解】 15 【考点五 因式分解的应用】 20 【典型例题】 【考点一 利用整体法提公因式因式分解】 例题：（2024上·四川眉山·八年级统考期末）分解因式： ． 【变式训练】 1．（2023上·湖南衡阳·八年级校考期末）把式子分解因式，结果是 2．（2023下·全国·八年级假期作业）因式分解： ． 3．（2023上·陕西延安·八年级校考阶段练习）因式分解：． 4．（2023上·上海青浦·七年级校考期中）因式分解： 5．（2023上·八年级课时练习）分解因式： (1)． (2)． 【考点二 因式分解要彻底分解】 例题：（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）因式分解 (1) (2) 【变式训练】 1．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解：． 2．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）因式分解 (1) (2) 3．（2023春·四川成都·八年级成都市第二十中学校校考阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 4．（2023秋·湖南永州·七年级统考期末）因式分解 (1) (2) 5．（2023秋·上海静安·七年级新中初级中学校考期末）因式分解： (1)； (2) 6．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）分解因式． (1)； (2)． 【考点三 十字相乘法因式分解】 例题：（2023下·安徽阜阳·七年级统考阶段练习）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式；． 第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或； 第二步：如下图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将、3或1、写在“×”号的右边，共有如下图的四种情形：    第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数： ①的系数为；②的系数为； ③的系数为；④的系数为． 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 问题： (1)分解因式：； ①完善下图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数；    ②分解因式：_______； (2)分解因式：． ①完善横线上的数字；    ②分解因式：________． 【变式训练】 1．（2023上·全国·八年级专题练习）十字相乘法分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 2．（2024上·福建泉州·八年级校考期末）因式分解： 3．（2023下·全国·八年级专题练习）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算： ；． 而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得： ；． 通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为： 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：． 利用这种方法，将下列多项式分解因式： (1)　 　； (2)　 　； (3)　 　； (4)　 　． 4．（2022下·浙江宁波·七年级统考期末）【学习材料】十字相乘法 对于形如的关于x、y二次三项式进行因式分解时，把项系数a分解成两个因数，的积，即，把项系数c分解成两个因数，的积，即，并使正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果： 例：分解因式： 解：如图1，其中，，而， 而对于形如的关于x、y的二元二次式也可以用两次十字相乘法来分解．如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果，，；即第1、2列、第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则：则原式 例：分解因式： 解：如图3，其中，，，而，，， 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)通过十字相乘法分解因式得，则______ ，______ ． (2)分解因式：______ ； ______ ； (3)若且，求代数式的值． 【考点四 分组分解法因式分解】 例题：（2023上·江西赣州·八年级统考阶段练习）通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公