1.2 第2课时 勾股定理的应用 学案 2023-2024学年 湘教版八年级数学下册

1.2 第2课时 勾股定理的应用 素养目标 1.结合实际,利用勾股定理解决求直角三角形的边长问题. 2.在应用过程中掌握“转化”思想,在没有直角三角形的图形中,通过构造出直角三角形再利用勾股定理解决实际问题. ◎重点:应用勾股定理知识解决有关问题. 预习导学 知识点 勾股定理的应用 阅读课本本课时的全部内容,回答下列问题. 1.“动脑筋”中梯子的底部从点C移到点C',则梯子的顶部从点A移到点　 　.所以梯子底部移动的距离是线段CC'的长,而顶部移动的距离是线段　 　的长.  2.“动脑筋”的图中的直角三角形有两个,分别是　 　和　 　,梯子的长是两个直角三角形的斜边　 　和　 　,它们的长度　 　,所以两个直角三角形的两直角边的平方和　 　.  3.“例2”解决的是已知一边B'C,并且能找出另外两边AB',AC之间的关系　 　,这样,只要设　 　个未知数,根据　 　即可得出方程,并解决问题.  【答案】1.A'　AA' 2.Rt△ABC　Rt△A'BC'　AC　A'C'　相等　相等 3.AC=AB—BC=AB'—AC　一　勾股定理 归纳总结　在斜边长不变的两个直角三角形中,两直角边的平方和　 　.  【答案】相等 对点自测 (1)如图,一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处,则旗杆折断之前的高度是 ( ) A.5 m B.12 m C.13 m D.18 m (2)如图,厂房屋顶的人字架是等腰三角形,AB=AC,AD⊥BC于点D,若跨度BC=16 m,上弦长AB=10 m,求中柱AD的长. 【答案】(1)D (2)解:∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC. ∵BC=16 m,∴BD=8 m. ∵AD2+BD2=AB2,∴AD2=AB2-BD2, ∴AD2=102-82=36,∴AD=6或AD=-6(舍去), ∴中柱AD的长为6 m. 合作探究 任务驱动一 勾股定理的应用 1.如图,这是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高CD为　 　米.(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.41,≈1.73)  2.(数学文化)在如图所示的象棋盘中,各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发,不走重复路线,按照“马走日”的规则,走两步后的落点与出发点间的最短距离为　 .  3.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发,现有C处需要爆破.已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图,为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险?是否需要暂时封锁?请通过计算进行说明. 【答案】1.2.9 2. 提示:如图,第一步到①,第二步到②,故走两步后的落点与出发点间的最短距离为=. 3.解:如图,过点C作CD⊥AB于点D.∵BC=400米,AC=300米,∠ACB=90°,∴根据勾股定理得AB=500米.∵AB·CD=BC·AC,∴CD=240米.∵240米<250米,故有危险,因此AB段公路需要暂时封锁. 方法归纳交流　本题的条件中含有60°,90°两个特殊角,但这两个特殊角都没有在直角三角形中,因此我们就用这两个特殊角构造一个或多个　 　三角形,以便用　 　定理去求相应边长.  【答案】直角　勾股 任务驱动二 方程思想在勾股定理中的应用 4.(数学文化)我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题:“今有立木,系索其末,委地三尺,引索却行,去本八尺而索尽,问索长几何?”大意:如图,木柱AB⊥BC,绳索AC比木柱AB长3尺,BC长8尺,则绳索AC的长为　　　　尺.  5.如图,铁路上A,B两站相距25 km,C,D为两村庄,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=15km,CB=10 km,现在要在铁路AB上建一个货运站E,使得C,D两村庄到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少千米处? 【答案】4. 提示:设AC=x尺,则AB=(x-3)尺. ∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°, ∴△ABC是直角三角形. 由勾股定理得AB2+BC2=AC2, 即(x-3)2+82=x2, 解得x=,即绳索AC的长为尺. 故答案为. 5.解:∵C,D两村到E站的距离相等,∴DE=CE. ∵DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B, ∴∠A=∠B=90°, ∴AE2+DA2=DE2,BE2+CB2=CE2, ∴AE2+DA2=BE2+CB2,设AE=x km,则BE=AB-AE=(25-x) km. ∵DA=15 km,CB=10