专项训练03 几何+函数综合专项-2024年全国初中数学竞赛试题精编（人教八年级下册）

《几何 函数综合专项》 全国初中数学竞赛试题精选精编 1．问题探究 （1）如图①．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，则∠BCD的面积为　 　． （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝30，BC＝40，点P在矩形内部，若PBC的面积是矩形ABCD面积的，求PB+PC的最小值． （3）如图③，四边形ABCD为公园中的一片花圃，现计划在四边形内找一点P，连接AP、CP，使得AP、CP将四边形ABCD分成面积相等的两部分，分别用于种植两种不同品种的花，同时沿着AP、CP修一条观赏的道路．为了降低成本，公园管理人员希望AP+CP最小．以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立如图③所示的平面直角坐标系，根据测量的数据可得：A(2，4)，C(6，0)，D(5，3)，请探究是否存在满足要求的点P，若存在，请在图中作出点P，并求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 2．阅读：将一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理．在学习第一章探索勾股定理时，我们就是“用不同的方式表示同一图形的面积”探究出了勾股定理．这种方法又称为等面积法． 【问题探究】小明所在的学习小组尝试了用等面积法解决下面的问题： 如图1，在等腰中，，，是线段上任意一点，过点作，垂足分别为，．求的值．他们用两种方法表示出的面积：    作于点，则． 连接，则 ． 请你帮助该小组的同学算出 ． 【学以致用】 如图2，直线与轴交于点，且经过点，已知点的坐标为 ．    （1）求直线的解析式； （2）在直线上有一动点，且点到直线的距离为，请利用以上所学的知识求点的坐标． 【拓展延伸】 如图3，若点是第一象限内一点，且点到三边所在直线的距离相等，请求出点的坐标．    3．【问题提出】 （1）如图①，点D为的边的中点，连接，若的面积为3，则的面积为_______； 【问题探究】 （2）如图②，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连接，作轴于点B，若，，过点B的直线l将分成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式； 【问题解决】 （3）如图③，在平面直角坐标系中，四边形是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中O为坐标原点，，为了方便驻区单位，计划过点O修一条笔直的道路（路宽不计），并且使直线将四边形分成面积相等的两部分，记直线与所在直线的交点为D，再过点A修一条笔直的道路（路宽不计），并且使直线将分成面积相等的两部分，你认为直线和是否存在？若存在，请求出直线和的函数表达式；若不存在，请说明理由． 4．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)如图2，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点． ①当点落在轴上时，求点的坐标； ②若为直角三角形，求点的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标． (2)点Q是线段CA上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线AB于M点，交CP于点N，设点Q的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）． ②当点Q，M，N三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出m的值． (3)过点P作轴于点H，点E在射线上且不与点P重合，点F在射线上，，连接是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 6．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且满足，点在直线上． (1)求直线表达式； (2)点是轴上一动点，当是直角三角形时，求点的坐标； (3)如图2，若点，过点作轴平行线，点为直线上一动点，直线与交与点，当平分时，求点坐标． 7．问题探究    (1)如图①，在四边形中，，，，，则的面积________． (2)如图②，在中，点A是平面内一动点，且始终满足，，求的最小值． (3)如图③，四边形为公园中的一片花圃，现计划在四边形内找一点P，连接，使得将四边形分成面积相等的两部分，分别用于种植两种不同品种的花，同时沿着修一条观赏的道路．为了降低成本，公园管理人员希望的和最小．以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立如图③所示的平面直角坐标系，根据测量的数据可得：，，，请探究是否存在满足要求的点P，若存在，请在图中作出点P，并求出点P的坐标；若不存在，说明理由 8．如图，工地上有和两个土墩，距离已标出，土方数分别为790方和1580方，洼地和分别需要填土1020方和1390方．现要求挖掉两个土墩，把这些土先填往洼地，余下的土填入洼地，如何安排运土方案才能最省劳力？    9．如图，