第四单元正比例与反比例(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

第四单元正比例与反比例(知识精讲+典题精练) 2023-2024学年六年级下册数学重难点单元培优讲义(北师大版) 1．比的意义 【知识点归纳】 两个数相除，也叫两个数的比． 2．求比值和化简比 【知识点归纳】 1．求两个数的比值，就是用比的前项除以比的后项，它的结果是一个数值，这个数值可以是整数，也可以是小数或分数． 2．求比值和化简比的方法：把两个数的比化成最简单的整数比． （1）整数比化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数． （2）分数比化简方法：把比的前项和后项同时乘它们的分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简；利用求比值的方法也可化简分数比，但结果必须写成比的形式． （3）小数比化简方法：先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同位数，完成整数比，再进行化简． 3．正比例和反比例的意义 【知识点归纳】 1．正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为：k（一定）． 2．反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例的关系可以表示为：xy＝k（一定）． 4．正比例 【知识点归纳】 正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 举例如下： （1）正方形的周长与边长 （比值：4）。 （2）同圆的周长与直径 （比值：π）。 （3）购买的总价与购买的数量（比值：单价）。 （4）速度一定，路程和时间成正比例；时间一定，路程和速度成正比例。 解：aX＝Y中，a不变，则 X与Y成正比例。一个变量随着另一个变量的变化而变化。 （5）圆的周长和半径成正比例吗？为什么？ 解：因为圆的周长除以圆的半径＝2π，所以圆的周长和半径成正比例。 （6）易错题：圆的面积（S）：半径（R）＝πR 解：这个比例是错误的，它不属于正比例。因为（S：R＝πR）因为根据上面所说，比值须是一个不变的量，而比的前项和后项必须是可以变化的量，如果R变化，那比值也会变化，所以圆的面积与半径不成正比例。 （7）易错题：圆的面积（S）：π＝R•R（一定） 解：这是一个错误的比例，因为比值是不变的量，前项与后项应随着一个的变化而变化，而在这里，比值是个固定的量，而π也是一个固定的量，前项无法变化，这个比例就成了一个固定的比例，不符合上面所说的前项和后项必须是可以变化的量。 （8）易错题：正方形的面积与边长中，S：A＝A 解：由上述可以看出：比值是个变量，它不能与比的任意一项相同，所以这个比例也不是正比例。 但如果圆的面积（S）：（R•R） （R的平方）＝π，这可看成一个正比例，它是S与（R•R）成正比例。 ↑一种量 （9）常见错误：长方形的周长一定，长和宽成正比例。 具体证明既可以用公式推导，2（a+b）＝C，a+b＝C/2（一定），发现长宽之和一定，而积不一定，故长和宽不成正比例。也可以用具体数据计算，比如周长为10厘米时，长9宽1积为9，长8宽2积为16，长7宽3积为21，长6宽4积为24，发现积不一定，故不成正比例。 5．辨识成正比例的量与成反比例的量 【知识点归纳】 1．成正比例的量： （1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小． （2）相对应的两个数的比值（商）一定． （3）关系式：k（一定）． 2．成反比例的量： （1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大． （2）相对应的两个数的乘积一定． （3）关系式：xy＝k（一定）． 3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例． 一．选择题（共7小题） 1．下列各式中，x、y（x，y均不为0）成反比例的是（　　） A． B．x：7＝y：6 C．5x＝3y D．x×3＝6÷y 2．考古学家常常利用文物中“碳﹣14”（一种元素）的含量来测定其年份。“碳﹣14”测年法的依据是：生物死亡后，其“碳﹣14”的含量大概每过5730年会减少到原来的一半。贾湖骨笛已有约9000年的历史，骨笛中现在的“碳﹣14”含量与制造时“碳﹣14”含量的比值最可能在以下哪个范围内？（　　） A． B． C． D． 3．小芳家十月份的用电量是九月份的80%，那么十月份用电量与九月份的比是（　　） A．4：5 B．5：4