专题1.2 等边三角形重难点题型归纳（四大类型）-2023-2024学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题1.2 等边三角形重难点题型归纳（四大类型） 【题型1 等边三角形性质综合问题】 【题型2 等边三角形中动点与全等三角形综合问题】 【题型3 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 【题型4 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 【题型1 等边三角形性质综合问题】 【典例1】（2023秋•崆峒区期末）如图，在等边三角形ABC中，点B、P、Q三点在同一条直线上，且∠ABP＝∠ACQ，∠BAP＝∠CAQ．判断△APQ是什么形状，并说明理由． 【变式1-1】（2023秋•万州区期末）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023秋•靖宇县期末）如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间最小的三角形的边长是3，则六边形的周长为（　　） A．90 B．60 C．50 D．30 【变式1-3】（2023秋•老河口市期末）如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF＝（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【变式1-4】（2022春•绥棱县校级期末）将两个等边三角形（每个内角都等于60°）如图1叠放在一起，现将△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为a（旋转角0°＜a＜360°），请探究下列问题： （1）如图2，当旋转角满足0°＜a≤60°时，请写出∠BCD与∠ACE的关系，并说明理由； （2）如图3，当旋转角满足60°＜a≤120°时，请写出∠BCE与∠ACD的关系，并说明理由； （3）当DE∥BC时请直接写出旋转角的度数． 【题型2等边三角形中动点与全等三角形综合问题】 【典例2】如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M． （1）求证：△ABQ≌△CAP； （2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 【变式2-1】如图，△ABD和△CBD都是边长为6cm的等边三角形，点E是边DA上的动点，点F是边DC上的动点． （1）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点C出发，以1cm/s的速度沿边CD向点D方向运动．当点E到达点A时，两动点均停止运动．试判断运动过程中∠EBF的大小是否会发生变化？如果不变，请求出其大小？如果改变，请说明理由． （2）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点D出发，以2cm/s的速度沿边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回．当点E到达点A时，两动点均停止运动．问当点E运动多少秒时∠EBF＝60°？ 【变式2-2】如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE． （1）△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由． （2）试说明AE∥BC的理由． （3）如图（2），将（1）中的点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形．请问是否仍有AE∥BC？请说明理由． （4）将（1）中的点D运动到边AB的延长线上，仍向上作等边△EDC，连接AE．请按要求画出图形，请问是否仍有AE∥BC？请说明理由． 【变式2-3】（2022秋•铜官区校级期中）如图，已知△ABC和△CDE中，B，C，E在同一条直线上，AC＝CB，∠ACB＝60°，DC＝EC，∠DCE＝60°，BD与AE交于点F，连接CF． （1）求∠AFB的度数； （2）求证：CF平分∠BFE． 【题型3 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 【典例3】如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是射线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF． 【问题解决】如图1，点D与点B重合，求证：AE＝FC； 【类比探究】（1）如图2，点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD； （2）如图3，点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？直接写出你的结论． 【变式3-1】如图，等边三角形ABC中，点E是BC上一定点，点D是射线AC上一动点，以DE为边作等边三角形DEF，连接CF． （1）如图1，点D与点A重合，直接写出线段CD、CE、CF之间的数量关系 　CD＝CE+CF　． （2）如图2，点D在AC边上，求证：CD+CF＝CE． （3）如图3，点D在边AC的延长