24.1.2 垂直于弦的直径 课件 2023--2024学年人教版九年级数学上册

第二十四章 圆 垂直于弦的直径 学 习 目 标 1.理解圆的对称性，探索并证明垂径定理. 2.掌握垂径定理，体验垂径定理的推导过程.（重点） 3.能运用垂径定理解决实际问题.（难点） 新课导入 赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m,请问桥拱的半径是多少？ 新课导入 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 折一折： （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ （2）你是怎么得出结论的？ 圆的对称性： 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴. 用折叠的方法 ●O 说一说 新课导入 自学检测 下列说法中，不正确的是（ ） A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B.圆有无数条对称轴 C.圆的每一条直径都是它的对称轴 D.圆的对称中心是它的圆心 C 知 识 点 一：垂径定理 问题：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B D E C 知 识 点 一：垂径定理 垂径定理: · O A B C D E 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 几何语言： 知 识 点 一：垂径定理 思考：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为 CD没有过圆心 是 是 知 识 点 一：垂径定理 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 例1. 如图, 是 的直径,弦 于点 ,若 , ,则弦 的长是( @20@ ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> D 例题讲解 12 1. 如图,在半径为 的 中,弦 , 于点 ,则 ( @21@ ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> B 对点训练 13 例题讲解 例2 . 已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：AC＝BD. ⌒ ⌒ . C D A B O 证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则AM＝BM，CM＝DM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） AM－CM＝BM－DM ∴AC＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ N M 2. 已知，在半径为13的⊙O中，弦AB的长为24，求点O到AB的距离. 对点训练 解：如图，连接OB，过点O作OC⊥AB于点C； 则AC＝BC＝12； ∵△BOC为直角三角形，由勾股定理得 BC2+OC2＝OB2，又OB＝13， ∴OC＝5， 即点O到AB的距离是5； C C B O 15 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗? 例题讲解 赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m,请问桥拱的半径是多少？ 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高. ∴ AB=37，CD=7.23. 解得R≈27.3 答：赵州桥主桥拱半径约为27.3m. =18.52+(R-7.23)2 ∴ AD= AB=18.5， OD=OC-CD=R-7.23. 例题讲解 ∵ 18 方法总结： 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： 弓形中重要数量关系 A B C D O h r d d+h=r O A B C · 课 堂 小 结 通过本节课的学习你学到了什么？ 训练展示 1. 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=2，AE=3，则△ACB的面积为（ ） A.3 B.5 C.6 D.8 C 训练展示 2．如图，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB，交AB于点H，连接OA，若∠A＝45