精品解析：2024年全国第四届章鱼杯联考高中组数学试题

2024 年第四届章鱼杯联考(高中组) 数 学 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 方程实数解的个数是（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 记为虚数单位，为正整数，若位于复平面的第四象限，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 若三次函数满足，则（ ） A. 38 B. 171 C. 460 D. 965 4. 设是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，则（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 是的充分不必要条件 C. 是的必要不充分条件 D. 是的必要不充分条件 5. 设A在曲线上，B在直线上，O为坐标原点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 一次铁人三项比赛中，每名参赛选手须在指定的游泳池里游个来回，然后骑车10公里，最后跑3公里.已知共有n名选手参赛，由于场地条件限制，游泳池内只能同时容纳一名选手(即上一名选手上岸时下一名选手方可下水)，骑车与跑步则无限制.记序号为的选手游泳、骑车、跑步所用时长的期望分别为,，,为了使得总完赛时间(即从1号选手下水到号选手跑完的总时长)尽可能短，应采取的策略是（ ） A. 让越大的选手越早出发 B. 让越小的选手越早出发 C. 让越大的选手越早出发 D. 让越小的选手越早出发 7. 给定，若，满足，均有，则k的范围是（ ） A. B. C. D. 8. Enigma机是二战时用来加密和解密的设备，其中插线板是整套密码系统的一环，原理如下：有26根接线柱对应26个英文字母，另有k条导线，每条导线的两端接在某两根不同的接线柱上，每根接线柱上至多连一条导线，以此交换输入的文字中有导线相连的接线柱处的字母.例如，时，设O与P相连，G与S相连，输入文字BIGOCTOPUS，则交换O与P，交换G与S，故输出BISPCTPOUG.设不同的接线方法数为ak，若ak越大则这套密码系统越安全.要使安全性最高，k应该取（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记集合正n边形可用尺规作出}，熟知3，4，5，7，9，11，则以下角中能被尺规作出的是（ ） A. 21° B. 25° C. 48° D. 62° 10. 下列关于异面直线的断言正确的是（ ） A. 给定异面直线a，b，定长线段分别在a，b上滑动，则四面体的体积不变 B. 设a，b为异面直线，夹角为θ，点A在a上，点B在b上，，与a，b的夹角分别是90°和α，则a，b之间的距离为 C. 设a，b为异面直线，则空间内存在某些点P，使得过P的直线不可能与a，b均相交 D. 存在两两异面的直线a，b，c和相交直线m，n，m与a，b，c均相交，n与a，b，c均相交 11. 有n个进程，，···，要访问一个数据库，不同进程之间、同一进程在不同时刻是否尝试访问数据库是相互独立的，且每一秒每个进程尝试访问数据库的概率均为.若某一秒恰有一个进程访问数据库，则访问成功，否则访问失败.以下是一个的样例： 序号/时刻 第1秒 第2秒 第3秒 第4秒 第5秒 第6秒 第7秒 ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ 访问结果 失败 失败 失败 记为在前t秒成功访问数据库的次数，为自然对数的底，[x]表示不小于实数x的最小整数，下列说法正确的是（ ） A. 若n=4，则 B. C. D. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 已知正七边形ABCDEFG的外接圆为且A为该圆上距离坐标原点最远的点，则关于这七个点的回归直线方程为__________；设CG，AD交于Q，则___________ 13. 设，且，则满足要求的数列的个数是__________. 14. 设双曲线Γ:，，B，C在Γ上且直线经过A.设分别为Γ在B，C处的切线