思维拓展03 平面向量中等和线的妙用（精讲）-2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结 思维拓展03 平面向量中等和线的妙用（精讲+精练） 一、平面向量共线定理 已知，若，则A，B，C三点共线，反之亦然. 二、等和线的概念 平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. （1） 当等和线恰为直线AB时，k=1； （2） 当等和线在O点和直线AB之间时，； （3） 当直线AB在点O与等和线之间时，； （4） 当等和线过O点时，k=0； （5） 若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. 三、等和线的证明 如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以，于是 综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 四、解题步骤 （1）确定单位线（当时的等和线）； （2）平移等和线，分析何处取得最值； （3）从长度比计算最值. 等和线的直接应用 【例1】设是边上的点，,若，则 =（ ） 【解析】因为，所以，因为，所以，由于此时等和线为，所以，即. 【例2】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P是以C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为（ ） A.3 B. C. D.2 【解析】：根据图形可知，当点P在圆上运动到与A点距离最大时 有最大值，此时，过A点作BD的垂线，如图所示垂足分别为M、N，则 答案：A 一、单选题 1.在中，点是线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（    ） A． B． C． D． 2.如图，四边形是边长为1的正方形，点在的延长线上，且，点是（含边界）的动点，设，则的最大值为（ ） 3.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为 A．3 B．2 C． D．2 4.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 5.已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6.如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________． 7.在同一个平面内，向量的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为，若，则m+n=______. 8.已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结 思维拓展03 平面向量中等和线的妙用（精讲+精练） 一、平面向量共线定理 已知，若，则A，B，C三点共线，反之亦然. 二、等和线的概念 平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. （1） 当等和线恰为直线AB时，k=1； （2） 当等和线在O点和直线AB之间时，； （3） 当直线AB在点O与等和线之间时，； （4） 当等和线过O点时，k=0； （5） 若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. 三、等和线的证明 如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以，于是 综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角