考点04 平行线【三大拐点模型】-2023-2024学年七年级数学下册考点归纳与解题策略（人教版）

考点04 平行线中【三大拐点模型】 ◎【模型一：猪蹄模型】 ◎结论1：若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C 【证明】过点 O作OE//AB，如图. ∵AB∥CD, ∴OE∥CD, ∴∠B=∠1,∠C=∠2, ∴∠1+∠2=∠B+∠C 即∠BOC=∠B＋∠C. ◎结论2：若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD. 【证明】过点 O作OE∥AB， 则 ∠B=∠1, ∵∠BOC=∠B+∠C， ∠BOC=∠1+∠2， ∴∠1+∠2=∠B+∠C ∴∠C=∠2 ∴OE∥DC， 又OE∥AB， ∴AB∥CD. ◎【模型二：铅笔头模型】 ◎结论1：如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360° 【证明】如图，过点 O作 OE//AB. ∵AB∥CD, OE//AB//CD. ∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°, ∴∠B+∠1+∠2+∠C=360° ∴∠B＋∠BOC+∠C=360°. ◎结论2：如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD. 【证明】如图，过点 O作EF//AB， 则∠B＋∠1=180° ∵∠B+∠BOC+∠C=360°, ∴∠C+∠2=180° ∴EF∥CD 又∵EF//AB， ∴AB//CD. “异形”铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 【模型三：锯齿模型】 ◎结论 如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 【证明】如图，过点C作MN//AB，过点D作PQ//AB. ∵AB//EF, ∴AB//MN// PQ//EF. ∴∠B=∠BCN,∠CDP=∠DCN,∠PDE=∠E, ∴∠B＋∠CDP＋∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E， ∴B+∠CDE=∠BCD＋∠E，得证. 锯齿模型的变换解题思路 拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型 考点1 猪蹄模型 考点2 铅笔头模型 考点3 锯齿模型 考点1 猪蹄模型 1．（2022下·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）阅读下面内容，并解答问题． 已知：如图1， ，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点． (1)求证：； (2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题． ①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　． ②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　． 2．（2021下·广东河源·七年级河源市第二中学校考期中）已知直线， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P． (1)如果P点在C，D之间运动时，问，，有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索，，之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明） 3．（2020下·北京西城·七年级北京师大附中校考阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下: 证明：过点E作 ∵ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，， BE平分， CF平分，，求． 4．（2019下·湖南张家界·七年级统考期末）已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3． (1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2； (2)当点P在线段EF外运动时有两种情况． ①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明； ②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）． 考2 铅笔头模型 5．（2021下·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜