考点05 勾股定理【十大题型】方法归类-2023-2024学年八年级数学下册考点归纳与解题策略（人教版）

考点05 勾股定理【十大题型】方法归类 1、 勾股定理的概念 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．即如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 2．使用勾股定理需注意以下事项： (1)使用的前提：在直角三角形中． (2)要分清求的是直角边还是斜边，如果没有指明，一定要进行分类讨论． 3.直角三角形中，根据勾股定理，已知两边可求第三边：Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， (1)若已知边a，b，则c＝； (2)若已知边a，c，则b＝； (3)若已知边b，c，则a＝． 2、 勾股定理的证明方法 美国第二十任总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法，如图所示，他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，利用此图形验证勾股定理． 证明勾股定理的三个步骤 (1)读图，观察整个图形是由哪些图形拼接而成，图中包括几个直角三角形，几个正方形，它们的边长各是多少． (2)列式：根据整个图形的面积等于各部分图形的面积和，列出关于直角三角形三边长的等式． (3)化简：根据整式的运算化简等式，得出勾股定理．　 3、利用勾股定理作长为的线段的方法 把a写成a=m²+n²(m,n为正整数)的形式，作一直角三角形，使两直角边长分别为m,n,则斜边的长为。 4、利用勾股定理求直角三角形边长的一般步骤 （1）分：分清斜边、直角边，再进行下一步；分不清则分类讨论，再进行下一步。 （2）代：已知边长，代入a²+b²=c²(c为斜边)。 （3）化：化简求值 5、已知直角三角形的两边的关系和第三边的长求未知两边长的方法 （1）根据两边关系设未知数； （2）根据勾股定理列方程求未知数的值； （3）求出未知的两边的长。 6、已知直角三角形两边长求斜边上的高的方法 用两种方法分别计算同一图形的面积，利用面积相等列出一个方程，求出斜边上的高。 7、 勾股图中的面积关系 考试中我们常会见到以直角三角形的三边为基础，向外作半圆、正方形、等边三角形，它们都具有相同的结论，即S3=S1+S2与直角三角形的三边相连的图形换成正五边形、正六边形等时，结论同样成立。 8、 利用勾股定理证明线段相等的方法 当已知条件中有线段的平方关系时，应优先选择用勾股定理证明，运用勾股定理证明两条线段相等：(1)找出图中有相等关系的直角三角形；(2)根据勾股定理写出三边的平方关系；(3)联系已知，等量代换，求之即可。 9、 利用勾股定理证明线段之间的平方关系的方法 首先应找出或构造直角三角形，然后在直角三角形中写出三边的平方关系，联系已知、等量代换或代数运算等，求之即可。 10、 折叠问题中求线段的长的方法 (1) 设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x); (2) 用已知数或含x的代数式表示出其他线段的长； (3) 在一个直角三角形中运用勾股定理列出一个关于x的方程； (4) 解这个方程，从而求出所求线段的长. 11 两点间的距离公式 12 勾股定理与网格问题 一般涉及到勾股定理的逆定理，利用网格构造直角三角形求边长，涉及到求三角形的底和高的时候，一般用等积法。 13 勾股定理与折叠问题 重折叠问题明确折叠前后的图形是全等图形，找到对应的相等边和相等角，转换到同一个直角三角形中，设未知数求解。 考点1 用勾股定理解三角形 考点2 两点间的距离公式的运用 考点3 勾股数问题 考点4勾股定理的网格问题 考点5 勾股定理的折叠问题 考点6 利用勾股定理证明两条线段的平方关系 考点7 勾股定理的证明方法 考点8 利用勾股定理画线段的长或画三角形 考点9 勾股定理求斜边上的高 考点10 利用勾股定理证明线段关系 考点1 用勾股定理解三角形 1．（2024上·河南洛阳·八年级统考期末）在中，，，则（    ） A．3 B．1 C． D．或3 2．（2024上·重庆沙坪坝·八年级统考期末）如图，在中，，若，则的长是（   ） A．14 B．13 C．12 D．10 3．（2024上·广东梅州·八年级统考期末）在中，，，的对边分别是a，b，c，．则该三角形的三边满足的关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2024下·全国·七年级假期作业）在中，，，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 考点2 两点间的距离公式的运用 5．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．1 B．5 C． D． 6．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）点在第二象限，距离轴个单位长度，距离原点5个单位长度，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 7．（2021上·辽宁辽阳·八年级统考期中